Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Gleichung
\( \frac{(x-1) e^{x}}{x^{2}-3}=\sin (x) \)
mindestens eine reelle Lösung im Intervall \( \left[-1, \frac{3}{2}\right] \) besitzt.
Sei \(f(x) = \frac{(x-1) e^{x}}{x^{2}-3}-\sin (x)\).
Berechne \(f(0)\).
Berechne \(f(1)\).
Verwende den Zwischenwertsatz.
Vermute die Lösung in der Nähe von x=\( \frac{1}{3} \) und folgere dann die Existenz dieser Lösung.
\(\frac{(x-1) e^{x}}{x^{2}-3}=\sin (x) \)
x=-1
\(\frac{(-1-1) e^{-1}}{(-1)^{2}-3}=1/e>0 >\sin (-1) \)
x=+1
\(\frac{(1-1) e^{1}}{1^2-3}=0 <\sin (1)\)
usw.
:-)
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