Zeige, dass x^4 = 7x^2 - 3x - 2 mindestens vier reelle Lösungen besitzt

Question

Ich habe eine sehr interessante Aufgabe in Analysis bekommen.

Ich muss nämlich zeigen , dass folgende Gleichung:

$$ x^4 = 7x^2 - 3x - 2 \\\text{mindestens vier verschiedene Lösungen } x \in \mathbb{R} \text{ besitzt.}$$

Wäre die Gleichung eine Abbildung könnte man anhand der größten Potenz erkennen wie viele Nullstellen die Gleichung hat und damit die Anzahl der Lösungen von x in R. Zumindest wurde es mir so damals in der Schule eklärt. Wäre interessant dies tatsächlich zu beweisen.

Problem/Ansatz:

- Ich würde die Gleichung gleich 0 setzen:

$$0=-x^4 + 7x^2 - 3x - 2 \\0= x^4 -7x^2 +3x +2$$

-PQ formel funktioniert schonmal nicht, da die Gleichung nicht die Passende gestalt hat, dass sie verwendet werden kann.

- Ersetzungsverfahren funktioniert ebenfalls nicht, die Gleichung sowohl ungerade als gerade Potenzen hat.

-Würde ich so vorgehen:

$$0=-x^4 + 7x^2 - 3x - 2 \\0= x^4 -7x^2 +3x +2 \\0=x(x^3-7x+3+ \frac{2}{x} )\Longrightarrow x=0 \lor 0=x^3-7x+3+ \frac{2}{x} \text{ Widerspruch!} $$

würde ein Widerspruch entstehen, weil x=0 nicht möglich sein kann da 2/x=2/0 und dass nicht möglich ist.

Kann mir jemand sagen, wie genau ich die Aufgabe bearbeiten soll?

Comments

Im konkreten Fall langt vielleicht auch schon eine Wertetabelle für das Polynom \(p(x)=x^4-7x^2+3x+2\).$$\begin{array}{r|r}x&p(x)\\\hline-3&11\\-2&-16\\-1&-7\\0&2\\1&-1\\2&-4\\3&29\end{array}$$Nach dem Zwischenwertsatz liegt in jedem der Intervalle (-3,-2), (-1,0), (0,1) sowie (2,3) mindestens eine reelle Nullstellen. Also hat das ursprüngliche Problem mindestens vier Lösungen.

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Danke für Ihren Kommentar!

Wenn ich es richtig verstanden habe:

zwischen 11 und -16 gibt es ein Vorzeichen wechsel → (-3;-2)

zwischen -16 und -7 gibt es keins

zwischen -7 und 2 gibt es ein Vorzeichen wechsel → (-1;0)

zwischen 2 und -1 gibt es ein Vorzeichen wechsel -->(0;1)

zwischen -1 und -4 gibt es kein Vorzeichen wechsel

zwischen -4 und 29 gibt es ein Vorzeichen wechsel → (2;3)

Nach dem Zwischenwertsatz:

$$\text{ Sei }f:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R} \text{ eine stetige Funktion mit } f(a) \lt 0 \land f(b) \gt0 \\\Longrightarrow \exists! ξ \in (a,b): f(ξ)=0$$

==> es existiert eine gesamt Anzahl von 4 Nullstellen mit jeweils einer in den Intervallen:  (-3;-2),(-1;0), (0;1),  (2;3) <==> es existieren mindestens 4 mögliche Lösungen  für das Polynom in den reellen Zahlen .

Das einzige was ich nicht genau verstanden habe ist, wie genau sie die Wertetabelle für das Polynom bestimmt haben?

Könnte sie mir das bitte erklären?

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@Spacko

Könntest du deinen sinnvollen Beitrag nicht als eigenständige Antwort schreiben?

Answer 1

hast du schon einmal von der Sturmschen Kette gehört? Wir nehmen den Untersuchungsbereich \(x∈ℝ\):

                                                      \(x=-\infty\)      \(x=\infty\)

\(P_{0}:\) \(-x^4+7x^2-3x-2\)             \(-\infty\)          \(-\infty\)

\(P_{1}:\)  \(-4x^3+14x-3\)                       \(\infty\)            \(-\infty\)

 \(P_{2}:\)   \(-14x^2+9x+8\)                    \(-\infty\)          \(-\infty\)

\(P_{3}:\)    \(-493x+219\)                          \(\infty\)            \(-\infty\)

\(P_{4}:\)            \(-1\)                                    \(-1\)            \(-1\)

______________________________________________________________

Anzahl der Vorzeichenwechsel:          \(4\)                  \(0\)

Die Differenz beträgt \(4\), d. h., dass es auf dem Intervall \(]-\infty, \infty[\) genau \(4\) reale Nullstellen gibt.

Comments

Die Sturmschen Kette war mir in der Tat unbekannt.

Wenn ich den Wikipedia Artikel richtig verstanden habe:

P_0 ist die gegebene Funktion

P_1 ist die erste Ableitung der Funktion

P_2 Wird durch folgende Polynomdivision ermittelt:

$$( -x^4+7x^2-3x-2): (-4x^3+14x-3)$$

P_3 wird erst das ergebnis aus P_2 ergänzt um unagenehme Brüche zu vermeiden und dann ist P_3 = P_1 : P_2

P_4 wird wieder durch Polynomdivision berechnet: P_4= P_2 : P_3

Hätte ich jetzt einen Intervall in welchen ich die Funktion untersuchen sollte, würde ich das Infimum/Minimum in jeweils in alle Ps einsetzen; die Anzahl der Vorzeichenwechsel summieren; dasselbe für das Supremum/Maximum dann auch.

Dann (Anzahl der Vorzeichenwechsel vom Infimum/Minimum) - (Anzahl der Vorzeichenwechsel vom Supremum/Maximum)= Anzahl der Nullstellen im Intervall.

___________

Ich habe jedoch einige Fragen:

(1) Wie genau wird die Polynomdivision durchgeführt? Wir haben dies noch nicht gemacht in der Vorlesung und ich habe es versucht mir es selbst beizubringen habe jedoch einige Schwierigkeiten bekommen.

So habe z.b das Beispiel aus dem Wikipedia link genommen und geschafft folgendes nachvollziehen:

$$(x^4-5x^3+7x^2-5x+6):(4x^3-15x^2+14x-5)= \frac{1}{4}x-\frac{5}{16}$$

Bin aber leider daran gescheitert folgendes zu verstehen:

$$(x^4-5x^3+7x^2-5x+6):(4x^3-15x^2+14x-5) \\= (\frac{1}{4}x-\frac{5}{16})(4x^3-15x^2+14x-5)-\frac{1}{16}(19x^2-10x-71)\\\Longrightarrow P_2=\frac{1}{16}(19x^2-10x-71)$$

(2) Für Intervalle, die durch einen Infimum bzw. Minimum und Supremum bzw. Maximum habe ich verstanden wie man die Anzahl der Nullstellen ermittelt.

Wie genau funktioniert dies, wenn Infimum bzw. Minimum und Supremum bzw. Maximum nicht vorhanden sind  wie in meiner Aufgabe oder wenn z.b nur ein Infimum/Supremum existiert und die andere Schranke offen (-) undendlich ist? Ich würde gerne verstehen wie genau sie bestimmt haben, dass es  4 Vorzeichenwechsel  in meiner Aufgabe gibt.

(3) Wie bestimme ich die Nullstellen? (War jetzt nicht in der Aufgabe verlangt, bin jedoch darin interessiert )

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(1) Polynomdivision:

(-x^4+7x^2-3x-2) : (-4x^3+14x-3) = 0.25x+(3.5x^2-2.25x-2)/(-4x^3+14x-3)

   -(-x^4+3.5x^2-0.75x)

             3.5x^2-2,25x-2

                  -(3.5x^2-2,25x-2)

                                          0

Wenn du \(3.5x^2-2.25x-2\) mit \(-4\) multiplizierst, so erhältst du die \(P_{2}\) oben. Du wunderst dich wahrscheinlich, wie man darauf kommt... Das versuche ich gerade auch herauszufinden...!

EDIT:

Es sind die negativen Reste der Polynomdivison - mit denen rechnst du dann weiter!

(2)

Die Unendlichkeit ist mehr ein Prozess und keine Zahl, weshalb deine Frage berechtigt ist. Du kannst ja nicht einfach \(\infty\) in die Funktion einsetzen... Aber du kannst Dir überlegen, welche Werte die Funktion im Unendlichen annehmen würde (Grenzwertberechnung)

Aufgrund der Vorzeichen des Leitkoeffizienten und dem Grad ändert sich das Verhalten im Unendlichen.

Wenn ich in die Funktion von \(P_{1}\) mal Werte einsetze, die extrem hoch sind (aber negativ), sieht das so aus:$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 10 & 100 & 1.000 &  \cdots \\ \hline f(x) & 7 & -3863& -39998603 & -3999986003 &  \cdots \end{array}$$ Wie du siehst eskaliert das ziemlich schnell und es nähert sich immer mehr \(-\infty\) an.

Das steht auch oben in der Tabelle so:

Wir haben immer größere Werte eingesetzt, die immer näher an Unendlich sind und erhalten immer höhere negative Werte, die gegen \(-\infty\) streben.

(3)

Z. B. mit den Newton-Verfahren (vorher mit Bisektion ein gutes Intervall finden!)

Das kann ich dir, wenn Du fragen hast, auch mal vorrechnen.

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Auch noch einmal Lesenswert:

Das zweite Polynom P1 der Sturmschen Kette ist die erste Ableitung des ersten Polynoms P0; die weiteren Polynome ergeben sich als negative Reste der Polynomdivision der beiden jeweiligen Vorgänger: P_{n-2} = Q·P_{n-1} + (-P_n).
Bei allen Polynomen der Kette können bei der Polynomdivision auftretende gebrochene Koeffizienten durch Multiplikation mit einer geeigneten positiven Zahl ganzzahlig gemacht werden, und es kann gegebenenfalls mit dem ggT der Koeffizienten gekürzt werden. (Hinweis: Das hier implementierte Programm kürzt gegebenenfalls auch bei P1.)

Der Algorithmus ist bis auf die vertauschten Vorzeichen der jeweiligen Restpolynome identisch mit dem euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggTs. Da dieser vom Vorzeichen unabhängig ist, ist der letzte von Null verschiedene Rest — also das letzte von Null verschiedene Polynom der Sturmschen Kette — der ggT von Polynom und zugehöriger Ableitung. Dieser ist genau dann nicht konstant, wenn das Polynom nicht „quadratfrei“ ist, also mindestens einen quadratischen, d.h. doppelt auftretenden Faktor enthält.

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/anzahlnullstellen.htm

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Vielen Dank für Ihre ausführliche Antwort auf meine Fragen!

(1)

Leider komme ich bei der Polynomdivision nicht nach, da wir sie noch nicht in der Vorlesung hatten. Ich habe bis jetzt folgendes verstanden:

$$(-x^4+7x^2-3x-2):(-4x^3+14x-3)= 0,25x+ (...) \\ NB: \\ \frac{-x^4}{-4x^3}=0,25x \\0,25x*(-4x^3+14x-3)=-x^4+3,5x^2-0,75x \Box \\(-x^4+7x^2-3x-2)-(x^4+3,5x^2-0,75x)\\=3,5x^2-2,25x-2$$

Aber wie mache ich weiter nach der letzten Zeile? Ich habe versucht so:

$$ \frac {3,5x^{2}}{-4x^3}=?$$

zu vorgehen, jedoch kam ich da auf ein anderes Ergebnis später und nicht wie bei Ihnen in Ihrer Rechnung.

Ich verstehe auch nicht ganz wie man nur ein teil des Ergebnisses benutzt um P_2 zu bestimmen. Gibt es etwa dort ein Trick?

Letzlich habe ich eine Frage wie genau ich die negativen Reste der Polynomdivison definiere mit denen Ich mein Polynom multipliziere um P_2 zu erhalten.

(2)

Wenn ich es richtig verstanden habe:

Bei (-) unendlich setzt man entsprechende höhe Werte in die einzelne Polynome ein und untersucht den Vorzeichenwechsel.

In unseren Fall war es für minus unendlich=4 und für unendlich=0

Dann (Summe der Vorzeichen wechsel bei minus unendlich) - (Summe der Vorzeichen wechsel bei minus unendlich)= Anzahl der Nullstellen laut dem Zwischenwertsatz

In unseren Fall 4-0=4

Soll man wenn ein Polynom gegeben wird ohne Definitionsbereich, erst untersuchen ob es stetig ist und erst dann Werte für (-) unendlich einsetzen ODER kann man dies direkt machen ohne die stetigkeit zu überprüfen?

(3)

Da wir, dass Bisektionsverfahren sowie Newtonverfahren noch nicht hatten, würde ich mich freuen wenn Sie mir es anhand unserer Aufgabe erklären könnten :)

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(3)

Beim Bisektionsverfahren setzt du einige Werte in die Funktion ein; guckst, ob sie sich immer mehr der Null annähren.

Wenn du einen solchen Wert gefunden hast, z. B. \(f(1)=1\), so kannst du das Newton-Verfahren anwenden:$$x_{i+1} = x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$ Du bildest also noch die Ableitung von der Funktion:$$f'(x)=-4x^3+14x-3$$ Und los geht es:$$x_1=1-\frac{f\left(1\right)}{f'\left(1\right)}\approx 0.85714$$ Das ist nun dein neuer Startwert:$$x_2=0.85714-\frac{f\left(0.85714\right)}{f'\left(0.85714\right)} \approx 0.85225884$$ Das ist bereits genau genug in den meisten Fällen.

Dann geht es weiter mit dem Bisektionsverfahren. Ein paar Sachen testen:$$f\left(-5\right)=-437$$$$f\left(-2\right)=16$$$$f\left(-1\right)=7$$$$f\left(-0.5\right)=1.1875$$ Super, dann haben wir schon wieder einen neuen Startwert. Diesmal \(x_0=-0.5\)

usw. bis du alle vier gefunden hast.

(2)

Soll man wenn ein Polynom gegeben wird ohne Definitionsbereich, erst untersuchen ob es stetig ist und erst dann Werte für (-) unendlich einsetzen ODER kann man dies direkt machen ohne die stetigkeit zu überprüfen?

Wie überprüft man denn die Stetigkeit?

(1)

Verstehst du nicht, was der Rest der Polynomdivision ist oder wie man überhaupt ein Polynom dividert?

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NOTE:

Das, was ich hier mache, sind aber eher Spielerreien. Ich würde mich mehr auf das von Spacko konzentrieren. Ich habe aber gerade Spaß, wenn das dir genauso geht, können wir auch mit diesem (etwas schwierigeren Weg) weitermachen.

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Vielen Dank für Ihre Mühe!

(1)

Also muss man Werte für die Funktion finden, die sich 0 annähern und durch das Newtonverfahren überprüfen ob es auch so bleibt.

$$\\f(-0.5)=1.1875 \Longrightarrow x_0=1.1875 \\x_1=1.1875-\frac{f(1.1875)}{f'(1.1875)} = 0,85255930$$

Kann man dann daraus schon eine Aussage treffen, dass eine Nullstelle sich bei 1.1875 befindet? Gibt es einen Trick die passende Werte zu finden oder muss man es durch einsetzen beliebiger Zahlen machen bis man auf eine passende trifft?

(2)

Wenn ich das Thema richtig verstanden habe, untersucht man erst die Funktion auf definitionslücken, damit eine Vorausetzung zu der Aussage von stetigkeit überhaupt getroffen werden kann.

Danach anhand des Folgenkriterium ist es möglich eine Aussage über die Stetigkeit einer Funktion zu treffen. Ich vermute in unseren Fall wäre es relevant, weil man anhand dessen Intervalle bestimmen mit welchen man später Aussage über die Anzahl der Nullstellen treffen kann, indem man die Infima/Suprema in die verschiedenen Polynome, die man Anhand der Polynomdivision berechenet einsetzen kann.

(3)

Wie bereits erwähnt hatte ich in den Vorlesungen das Thema Polynomdivision nocht nicht und habe mir es versucht anhand diesen Links: https://www.gut-erklaert.de/mathematik/polynomdivision.html beizubringen. Ich habe die Logik anhand des Beispiels verstanden jedoch in der Praktischen Anwendung kam ich nicht weiter nachdem 0,25x korrekt gerechnet habe.

Könnten Sie mir erst anhand unseren Beispiels erklären Schritt-für Schritt wie eine Polynomdivision verläuft?

Und danach woraus man den Rest der Polynomdivision bestimmt?

Mir ist schon klar, dass ich bei der Hausübung die Lösungsmöglichkeit von Spacko benutzen werde. Ich habe in seiner Lösungsmöglichkeit zwar verstanden woraus man folgern kann, wie viele Nullstellen das Polynom hat, jedoch nicht woraus er die Wertetabelle erstellt hat? Muss man dort wieder einfach werte einsetzen oder gibt es einen Verfahren woraus man die Wertetabelle erstellen kann?

Ich habe übrigens auch Spaß an dem schwierigen Weg und sich neuen Stoff beizubringen eher er in der Vorlesung erscheint schadet nicht. Vielleicht werde ich sogar die Sturmschen Kette als Thema für das Proseminar nächstes Semester wählen :)

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(1)

Kann man dann daraus schon eine Aussage treffen, dass eine Nullstelle sich bei 1.1875 befindet? Gibt es einen Trick die passende Werte zu finden oder muss man es durch einsetzen beliebiger Zahlen machen bis man auf eine passende trifft?

Nein. Was ist denn bei einer Nullstelle? Der \(y\)-Wert ist 0:$$f(\text{Nullstelle})=0$$ Das Bisektionsverfahren ist ein wenig wie das "Heiß Kalt"-Spiel. Du suchst und anderer Personen sagen "heiß", wenn du näher zum Gegenstand kommst und "kalt", wenn du dich weiter davon entfernst.

Du setzt erst einen relativ hohen positiven und negativen Wert in die Funktion ein:$$f(1000)=−9.99993003\cdot 10^{11}$$$$f(-1000)=−9.99992997\cdot 10^{11}$$ Hier würde man also ganz laut "KAAAAAAAALT" schreien (sehr weit von 0 entfernt).

Bei so einer Differenz kann man ruhig schon einmal die \(\pm 10 \)ausprobieren:$$f(-10)= −9272$$$$f(10)=-9332$$ Das ist auch noch weit weg. Wir können mit \(\pm 1\) weiter machen:$$f(1)=1$$$$f\left(-1\right)$$ Oh super, wenn \(f(1)\) ist schon nah genug an der 0, um nun mit dem Newton-Verfahren weiter zu machen.

Ich glaube es kam bei dir u. a. zum Missverständnis, weil es halt beides 1 ist. Aber du musst mit demjenigen Wert arbeiten, der in der Klammer steht, also \(f(\colorbox{#FFFF00}{1})=1 \Longrightarrow x_0=\colorbox{#FFFF00}{1}\)

Nun näherst du dich mit dem Newton-Verfahren bis zur gewünschten Akkuratesse der Nullstelle.