Für welche Werte des Parameters a besitzt das System wie viele Lösungen?

Question

Für welche Werte des Parameters a besitzt das System

 x + ay = 1

 ax + y = 1

 
a) genau eine Lösung? Wie lautet sie?

b) keine Lösung?

c) unendlich viele Lösungen?

Eine Aufgabe dieser Art kommt morgen bei einer wichtigen Matheklausur dran. Ich wäre froh, könnte mir jemand den genauen Lösungsweg vorgeben.

Gruss Lonick

Answer 1

x + ay = 1  ax + y = 1       also

x = 1 - ay  und   a*(1 - ay) + y = 1

                             a  - a^2 y  + y = 1

                                       - a^2 y  + y = 1- a

                              y *  (  - a ^2 + 1 ) = 1 - a

genau eine Lösung, nämlich  y =  (  1-a) / ( - a^2  + 1 )

                                                        =   (  1-a) /  ( (1-a)(1+a))   =  1 / (1+a )

wenn a weder 1 noch -1 ist.

bei a= 1 ist  y * 0 = 0  also unendlich viele Lös.

bei a = -1 ist es  y * 0 = 2   keine Lös.

Comments

Wenn du nach dem Einsetzen etwas bekommst, wo du dividieren musst

( wie hier durch - a^2 + 1 bzw  1 - a^2 = ( 1+a) ( 1-a)

Musst du die Fälle, wo der Divisor = 0 ist extra untersuchen.

Answer 2

unendlich viele Lösungen gibt es wenn die zwei Gleichungen linearabhängig sind, dh die gleiche Geradengleichung geben.

y= 1/a-x/a

y= 1-ax

Diese müssen gleich sein. für unendlich viele Lösungen müsste also a= 1 sein.

Comments

Du musst es dir vielleicht besser vorstellen können was die Lösung überhaupt heisst.

Bei einer Lösung heisst es, dass sich die 2 Graphen der Funktionen in genau einem Punkt schneiden. Somit muss beim Gleichungssystem eine Lösung für x und eine für y heraus kommen.

Damit es keine Lösung hat müssen sich die 2 widersprechen bzw. du kannst die zwei Gleichungen gleichsetzten, weil sie ja nach y aufgelöst sind und danach mus etwas in der Form 8=1 heraus kommen.

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Hinweis: Dividieren durch a geht aber nur für a ungleich 0 !!

Answer 3

(2) ->  y = 1 - ax   

in (1)  ->  x + a • ( 1 - ax ) = 1

x + a - a²x =1

x • (1 - a²) = 1 - a

a) für a ∉ {1,-1} ->  x = [1 - a ] / [1 - a²]  = 1 / (1+a)  eindeutige Lösung

b)  a = 1  unendlich viele Lösungen von  x • 0 = 0

c) a = -1 keine Lösung von x • 0 = 2