Anzahl der reellen Lösungen bestimmen von e^{x/5} = 2x + 5

Question

Ich habe folgendes Problem: Ich habe die Aufgabe "Bestimmen Sie die Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung"

$$ e^\frac{x}{5} = 2x+5$$

nun habe ich gedachte das ich vielleicht einfach das x bestimme, allerdings sind die Lösungen sehr "unschön" mit

L:={-2.177;18,748} was meist kein  guten Zeichen für Übungsaufgaben ist außerdem weiß ich nicht ob ich so die Möglichkeit für

andere x ausschließe. Gibt es eine Formale Varriante die Anzahl eine e bzw. ln Gleichung zu bestimmen?

MfG Pascal

Comments

@clic. Ich habe in reellen ein fehlendes l ergänzt.

Ausserdem handelt es sich um eine Exponentialgleichung. Und du suchst die Anzahl der reellen Lösungen.

Answer 1

Es kann nur keine, eine oder genau zwei Lösungen geben. Kannst du mir erklären warum? Es langt dazu zu wissen wie beide Graphen gekrümmt sind.

f(x) = e^{x / 5}

f'(x) = 1/5 * e^{x / 5}

g(x) = 2x + 5

g'(x) = 2

f'(x) = g'(x) --> 1/5 * e^{x / 5} = 2 --> x = 5·LN(10) = 11.51

f(11.51) = 9.994

g(11.51) = 28.02

Damit sollte das eigentlich 2 Lösungen geben.

Du sollst nicht die Lösungen bestimmen sondern nur deren Anzahl. Konzentriere dich also nur auf das hierfür wesentliche.

Comments

Hallo coach,

wieso schließt du von
f ( x ) = g ( x )
auf
f ´( x ) = g ´( x )
?

Für Berührpunkte würde beides zutreffen.

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@georgborn:

Genau lesen und Eingabe in den plotlux hilft die Argumentation von Mathecoach zu verstehen

~plot~ e^{x/5}; 2x + 5; x=11.51; {11.51 | 9.994};{11.51| 28.02};[[-13|25|-2|50]] ~plot~

Answer 2

eine einfache Möglichkeit zu testen, ob man alle Nullstellen hat, ist, sich den Graphen anzeigen zu lassen oder selber zu zeichnen. Man sieht ja ab einem bestimmten Intervall, wie die Tendenz ist.

Deine Lösungen scheinen auch plausibel zu sein, wenn man es mit dem Graphen vergleicht

~plot~ e^{x/5} -2x -5 ~plot~

Zur Anzahl der Nullstellen kann ich nicht viel sagen:

Aber: Wenn du eine e-Funktion hast, die wie folgt aussieht, gibt es keine Nullstelle

f(x) = e^{ax}

Vielleicht hilft das etwas.

Gruß

Smitty

Answer 3

Hallo

ich glaube nicht, dass ihr das lösen sollt, das geht nur numerisch

Wahrscheinlich ist geimeint alle auf eine Seite zu bringen, untersuchen wann die >0, wann <0 ist, dazwischen gibt es dann eine Nst.

x muss >-2,5 sein, weil die exp. fkt immer positiv ist, so findet man eine Nst zwischne -2,5 und 0, danach wächst die efkt erstmal langsamer, danach schneller sls 2x+5, deshalb kann es nur noch eine Nst mit x>0 geben

anders gesagt, die Gerade 2x+5 monoton wachsend und e^{x/5} können sich nur in eine negativen x und einem positiven schneiden.

Gruß lul