Beweis: Folgende Gleichung besitzt im Intervall Lösung

Question

Folgende Gleichung ist gegeben:

\( \frac{a}{x -w_1} \) + \( \frac{b}{x+w_1} \) + \( \frac{c}{x-w_2} \)   = 1001001

Zu beweisen ist:

Im Intervall \( [-w_1,w_1] und [w_1,w_2]\) ist für bel. \( a,b,c,w_1,w_2 \) eine Lösung vorhanden (Es gilt \(w_1 < w_2\)).

Problem/Ansatz:

Wäre echt dankbar wenn mir jemand kurz erläutern würde wie ich die Aufgabe angehen soll. Meine einzige Idee wäre jetzt grad, dass ich die Gleichung nach x umforme, aber weiter weiß ich nicht.

Danke schon mal im voraus

LG :)

Comments

Hast du dir schon mal ein Beispiel mit von dir gewählten konkreten Zahlen angeschaut? Damit meine ich: Denk dir den Term auf der linken Seite als Funktion und lass dir den Graphen mal anzeigen. Dann solltest du eigentlich eine Vorstellung haben, worum es geht. Jedenfalls nicht, die Gleichung umzustellen. Eher Stetigkeit, Grenzwerte und so was.

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Irgendetwas stimmt mit der Aufgabenstellung nicht. Für

• a = 500 000
• b = -100 000
• c = -2 000 000
  
• w₁ = 1
• w₂ = 2

hat die Gleichung nur eine reelle Lösung. Und die liegt ungefähr bei -1,166614885273208, also weder im Intervall [-w₁, w₁], noch im Intervall [w₁, w₂].

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Ich habe es wieder kontrolliert und die Aufgabenstellung ist zu 100% identisch. Würde ja gerne ein Foto davon machen, aber darf man ja nicht.

Die Gleichung, Intervalle und Definitionsbereich entspricht der Aufgabenstellung, die ich vor mir hab.

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Mit den beliebigen a=b=c=0, also 0/bimmbimm=1001001 wirds schwer, eine Lösung zu finden; bin noch am Suchen!

Answer 1

Wenn a,b und c wirklich beliebig (insbesondere mit verschiedenen Vorzeichen) sein dürfen, kann man Gegenbeispiele konstruieren. Schränkt man es auf positive reelle Zahlen ein, stimmt die Aussage. Die rechte Seite kann sogar gegen jede positive reelle Zahl ausgetauscht werden. Und die Nullstellen der Nenner müssen nur verschieden sein. Dann definiert die linke Seite der Gleichung eine gebrochen rationale Funktion mit drei Polstellen (eben die Nullstellen der Nenner), und die Vorzeichen der insgesamt 6 einseitigen Grenzwerte sind (von links nach rechts) abwechselnd. Daher muss aus Stetigkeitsgründen die Funktion in den zwei Intervallen zwischen den Polstellen jeden Wert annehmen. Das wäre schon im Wesentlichen das Argument, muss nur vernünftig formalisiert werden.