Darstellungsmatrix D_{C_{1}B_{1}} bestimmen

Question

Sei \( V = \mathbb{Q^2}\) und \( W = \mathbb{Q^3}\) sowie

\( f: V\rightarrow W, \begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 2x-y\\y\\x-3y \end{pmatrix}\)

Seien weiter \(  B_{1} =  {\left\{ \begin{pmatrix} 1\\1\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\-1\\ \end{pmatrix} \right\}}\), \(  C_{1} =  {\left\{ \begin{pmatrix} 3\\-1\\4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\-1\\2 \end{pmatrix} \right\}}\)

Bestimmen Sie \(D_{C_{1}B_{1}}\left(f\right). \)

Irgendetwas scheint mit meiner Rechnung nicht zu stimmen:

\( f \left(\begin{pmatrix} 1\\1\\ \end{pmatrix} \right) =  \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix} = -c_3 , f \left(\begin{pmatrix} 1\\-1\\ \end{pmatrix} \right) =  \begin{pmatrix} 3\\-1\\4 \end{pmatrix} = c_1 \\[20pt] \Longrightarrow D_{C_{1}B_{1}}\left(f\right)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 &  0\\-1 & 0 \end{pmatrix} \)

Wenn ich jetzt aber die Probe mit \( f \left(\begin{pmatrix} 2\\2\\ \end{pmatrix} \right) \) mache, komme ich einerseits auf

\( f \left(\begin{pmatrix} 2\\2\\ \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2\\2\\-4 \end{pmatrix} \) (mit der Abbildungsvorschrift)

und andererseits mit der berechneten Darstellungsmatrix auf

\( f \left(\begin{pmatrix} 2\\2\\ \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 &  0\\-1 & 0 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 2\\2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\0\\-2 \end{pmatrix}\) 

Wo ist mein Fehler?

Answer 1

Deine Rechnungen sind richtig. Die "Koordinaten" des Beispielvektors und des Bildvektors sind bezüglich der Basen B₁ bzw. C₁ zu verstehen. Eigentlich hast du "gerechnet": f(2b₁+2b₂)=2c₁+0c₂-2c₃, wenn ich mal die insgesamt 5 Basisvektoren der Reihe nach so benenne. Das ist ja sozusagen der Sinn der Abbildungsmatrix.

Comments

Ich glaube ich habe es jetzt:

Es ist \( \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} = 2b_1\) ,also   \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 &  0\\-1 & 0 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 0\\0\\-2 \end{pmatrix}  \)

und damit ist   \( f\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} = 0 \cdot c_1 + 0 \cdot c_2 - 2 \cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\2\\-4 \end{pmatrix} \)

Ist es also in solchen Fällen (wenn man die Abbildungsvorschrift gegeben hat) immer sinnvoller, Bilder von bestimmten Vektoren mit der Abbildungsvorschrift zu berechnen?

Der Sinn der Darstellungsmatrix ist dann, dass man das Bild eines Vektors ohne die Abbildungsvorschrift bestimmen kann?

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Deine Rechnungen stimmen. Die Rechnung mit der Abbildungsvorschrift ist natürlich insofern einfacher als das Berechnen mit der Matrix, da man die Koordinaten eines Vektors bezüglich der Einheitsvektoren angibt. Der Sinn, andere Basen zu betrachten? Bei bestimmten Problemen ist es sinnvoll, eine "Basistransformation" vorzunehmen, so dass beispielsweise die Abbildungsmatrix besonders einfach ist. Aber das wirst du vermutlich noch lernen.