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Die Koordinaten aller Vektoren sind in der Standardbasis \(S\) des \(\mathbb R^3\) angegeben. Daher können wir die Darstellungsmatrix \({_S}M_{S}\) der Abbildung \(\Psi\) bezüglich dieser Standardbasis angeben:$$\Psi(\vec x)=\begin{pmatrix}-x_1+3x_2+x_3\\-x_1+x_2-2x_3\\2x_2+3x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}x_1+\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}x_2+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}x_3=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}-1 & 3 & 1\\-1 & 1 & -2\\0 & 2 & 3\end{array}\right)}_{\eqqcolon{_S}M_{S}}\cdot\vec x$$Da auch die Koordinaten der Basisvektoren in \(B\) und \(C\) bezüglich der Standardbasis \(S\) des \(\mathbb R^3\) angegeben sind, können wir die Basiswechsel-Matrizen von \(B\) zu \(S\) bzw. von \(C\) zu \(S\) direkt hinschreiben:$${_S}\mathbf{id}_{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right)\quad;\quad{_S}\mathbf{id}_{C}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\\0 & 2 & 0\end{array}\right)$$
Damit hönnen wir nun die Darstellungsmatrix \({_C}M_{B}\) bestimmen, die rechts als Eingang Vektoren mit Koordinaten bezüglich der Basis \(B\) erwartet und links Vektoren mit Koordinaten bezüglich der Basis \(C\) liefert:$${_C}M_{B}={_C}\mathbf{id}_{S}\cdot{_S}M_{S}\cdot{_S}\mathbf{id}_{B}=\left({_S}\mathbf{id}_{C}\right)^{-1}\cdot{_S}M_{S}\cdot{_S}\mathbf{id}_{B}$$$$\phantom{{_C}M_{B}}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\\0 & 2 & 0\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{rrr}-1 & 3 & 1\\-1 & 1 & -2\\0 & 2 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{{_C}M_{B}}=\left(\begin{array}{rrr}-6 & -3 & -6\\2,5 & 2,5 & 1,5\\4,5 & 3,5 & 3,5\end{array}\right)$$
Im Teil b) sollen wir die Gleichung$$\Psi_C(\vec x)={_C}M_B\cdot\vec x_B$$für den Vektor \(\vec x_B=(1;-1;1)^T\) verifizieren. Die rechte Seite ist eine simple Matrixmultiplikation$$\Psi_C(\vec x)=\left(\begin{array}{rrr}-6 & -3 & -6\\2,5 & 2,5 & 1,5\\4,5 & 3,5 & 3,5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1\\-1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}-9\\1,5\\4,5\end{array}\right)$$Für die linke Seite müssen wir den Vektor \(\vec x_B\) zunächst in die Standardbasis überführen:$$\vec x=1\cdot\vec b_1-1\cdot\vec b_2+1\cdot\vec b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$Dann die Abbildung \(\Psi\) darauf wirken lassen:$$\Psi(\vec x)={_S}M_S\cdot\vec x=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 3 & 1\\-1 & 1 & -2\\0 & 2 & 3\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}0\\-3\\3\end{array}\right)$$und schließlich das Ergebnis in die Basis \(C\) überführen:
$$\Psi_C(\vec x)={_C}\mathbf{id}_S\cdot \Psi(\vec x)=\left({_S}\mathbf{id}_C\right)^{-1}\cdot \Psi(\vec x)=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\\0 & 2 & 0\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{rrr}0\\-3\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}-9\\1,5\\4,5\end{array}\right)$$Die Gleichung ist also offensichtlich erfüllt.
