Bestimme die Darstellungsmatrix von D_{φ} in Bezug auf die Standardbasis

Question

Für einen Winkel \( \varphi \in \mathbb{R} \) sei

$$ D_{\varphi}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$
die Drehung um den Winkel \( \varphi \) mit Zentrum \( 0 \in \mathbb{R}^{2} \).
(a) Argumentiere, dass für zwei Winkel \( \varphi, \psi \in \mathbb{R} \) gilt
$$ D_{\varphi} \circ D_{\psi}=D_{\varphi+\psi} . $$
(b) Bestimme die Darstellungsmatrix von \( D_{\varphi} \) in Bezug auf die Standardbasis \( e_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right), e_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1\end{array}\right) \). Hinweis: Bestimme \( D_{\varphi}\left(e_{i}\right) \) geometrisch, oder frage deinen Übungsleiter.

(c) Leite aus (a) und (b) die Additionstheoreme
$$ \begin{aligned} \sin (\varphi+\psi) &=\sin (\varphi) \cos (\psi)+\cos (\varphi) \sin (\psi) \\ \cos (\varphi+\psi) &=\cos (\varphi) \cos (\psi)-\sin (\varphi) \sin (\psi) \end{aligned} $$

Answer 1

Aloha :)

Unsere Betrachtung findet in einem 2-dimensionalen kartesichen Koordinatensystem statt. Wir überlegen uns, wie eine \(2\times2\)-Matrix \(\mathbf D(x)\) aussehen muss, die einen Ortsvektor um den Winkel \(x\) linksherum dreht. Wenn wir den Vektor \(\binom{1}{0}\) um den Winkel \(x\) nach links drehen, wird daraus der Vektor \(\binom{\cos x}{\sin x}\). Wenn wir den Vektor \(\binom{0}{1}\) um den Winkel \(x\) nach links drehen, wird daraus der Vektor \(\binom{-\sin x}{\cos x}\). Formal mit der Drehmatrix \(\mathbf D(x)\) geschrieben heißt das:$$\mathbf D(x)\cdot\binom{1}{0}=\binom{\cos x}{\sin x}\quad;\quad \mathbf D(x)\cdot\binom{0}{1}=\binom{-\sin x}{\cos x}$$Wir fassen beide Gleichungen zu einer Matrix-Gleichung zusammen:$$\mathbf D(x)\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\\sin x & \cos x\end{pmatrix}\quad\implies\quad\mathbf D(x)=\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\\sin x & \cos x\end{pmatrix}$$

Ein Vektor \(\vec v\) transformiert sich daher bei einer Drehung um den Winkel \(x\) gemäß$$\vec v'=\mathbf D(x)\cdot\vec v$$Drehen wir den gedrehten Vektor \(\vec v'\) noch um einen Winkel \(y\) weiter, so gilt:$$\vec v''=\mathbf D(y)\cdot\vec v'=\mathbf D(y)\cdot(\,\mathbf D(x)\cdot\vec v\,)\stackrel{(\ast)}=(\,\mathbf D(y)\cdot\mathbf D(x)\,)\cdot\vec v$$Darin haben wir im Schritt \((\ast)\) die Assoziativität von Matrizen benutzt.

Für die Hintereinanderausführung von zwei Drehungen gilt also:$$\mathbf D(y+x)=\mathbf D(y)\cdot\mathbf D(x)=\begin{pmatrix}\cos y & -\sin y\\\sin y & \cos y\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\\sin x & \cos x\end{pmatrix}$$$$\phantom{\mathbf D(y+x)}=\begin{pmatrix}\cos x\cos y-\sin x\sin y & -\sin x\cos y-\cos x\sin y\\\sin x\cos y+\cos x\sin y & \cos x\cos y-\sin x\sin y\end{pmatrix}$$

Andererseits ist$$\mathbf D(y+x)=\begin{pmatrix}\cos(x+y) & -\sin(x+y)\\\sin(x+y) & \cos(x+y)\end{pmatrix}$$

Ein Vergleich beider Matrizen liefert die Additionstheoreme:$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$$$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$