ich bin mir nicht sicher, ob bei folgender Aufgabe die Darstellungsmatrix stimmt: deg p(x) ≤ n
$$ \mathbb{R}[x]_n \subset \mathbb{R}^{\mathbb{R}} , ~~ \mathbb{R}-VR ~~ mit ~~ \mathbb{R}[x]_n = \lbrace x \mapsto p(x) = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j x^j | \alpha_0,...,\alpha_n \in \mathbb{R}} \rbrace $$
mit B = (b0,...,bn) Basis der Monome bj(x) = xj und ζ1,...,ζm ∈ ℝ paarweise verschieden.
$$ f:\mathbb{R}[x]_n \to \mathbb{R}^m , f(p(x))(i) := p(\zeta_i) ,~ i = 1,...,m $$
Nun soll die Darstellungsmatrix ξEB (f) von der Basis B zur Standardbasis E von Km ermittelt werden.
Mein Lösungsvorschlag:
$$ v = p(x) = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j x^j} = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j b_j(x)} ~, ~ < b^*_i,v > = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j < b^*_i,(x^j) >} = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j < b^*_i,b_j(x) > } = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j \delta_{ij}} = \alpha_i $$
$$ b_i(v) = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j b_i(x^j)} = \alpha_i x^i , ~ f(b_i(v)) = f(\alpha_i x^i) = p(\zeta_i) = f(p(x))(i) , ~ mit ~~ p(\zeta_i) = (\sum_{j = 0}^{n}{\beta_j C_i^j})e_i $$
$$ f(a_j b_j(x)) = a_j f(b_j(x)) = {{e_j} \over \alpha_j} \sum_{i = 1 }^{m}{\zeta_i^j \beta_i} $$Weiters folgt: $$ f(v) = f(\sum_{j = 0}^{n}{b_j ({\sum_{i = 0}^{n}{\alpha_i x^i}})}) = f(\sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j x^j}) = p(\zeta_j) = f(p(x))(j)$$
Schlussendlich wird die Darstellungsmatrix ermittelt:
$$ f(v) = \sum_{j = 0}^{n}{v_j f(b_j)} = \sum_{j = 0}^{n}{v_j (\sum_{i = 1}^{m}{\zeta_i^j \beta_i e_i}))} = \sum_{i = 1}^{m}({\sum_{j = 0}^{n}{\zeta_i^j v_j})\beta_j e_j} , ~ , => w \in K^m , ~ w_i = \sum_{j = 0}^{n}{\zeta_i^j v_j} ~, ~ f(v) = w = \sum_{i = 1}^{m}{w_i \beta_i e_i} => \xi_B^E (f) = \zeta_i^j = \begin{pmatrix} 1 & \zeta_2^1 & ... & \zeta_m^1 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\vdots \\ 1 & \zeta_2^n & ... & \zeta_m^n \end{pmatrix}$$
daraus sollte nun folgen, dass Zeta die Darstellungsmatrix ist. Das wäre das Wesentliche der Beweisidee kurz zusammengefasst.
Kalidhor
