Salbe mit paar Nebenwirkungen

Question

Aufgabe

Bei der Anwendung einer Salbe treten als Nebenwirkungen immer wieder Juckreiz und Hautrötungen auf. Bei einer Untersuchung von 1000 Patienten, die die Salbe verwendeten, trat in 160 Fällen Hautrötung auf. Bei 32 Partienten zeigten sich beide Nebenwirkungen, während 107 untersuchte Partienten keine Hautrötung hatten, dafür aber Juckreiz.

a) Erläutern Sie unter Berücksichtigung des Sachzusammenhangs, was im Folgenden berechnet wird.

(alle Werte sind Prozente)

1- \( \frac{3,2}{3,2 + 10,7} \) =77

Unter den untersuchten Patienten mit Hautrötung werden 20 zufällig ausgewählt. Um die Wahrscheinlichkeit, dass bei genau 5 von diesen 20 Patienten mit Hautrötung Juckreiz auftrat, näherungsweise zu berechnen, wird folgende Rechnung durchgeführt.

P(genau 5 mit Juckreiz) = (20ℂ5) • 0,2⁵ • 0,8¹⁵

b)Erklären Sie diese Rechnung. Begründen Sie, warum dies nur eine Näherungsrechnung ist, und erörten Sie,inwieweit diese Näherung gerechtfertigt ist.

c)

Erläutern Sie, warum der exakte Wert der gesuchten Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet werden kann:

\( \frac{(32ℂ5)•(128ℂ5)}{160ℂ20} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte einer zeigen wie man bei solchen Aufgaben so was beschreibt...

Comments

\( \frac{(32ℂ5) • (128•15)}{(160ℂ20)} \)

Klammer vergessen :)

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Hast Du bei a) die Formel richtig? Mich stört das 1% - ...

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Das ist die Gegenwahrscheinlchkeit.  1=100%

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(alle Werte sind Prozente)

Wie soll man Antworten geben, wenn man raten muss was die Frage ist...

Answer 1

a)

1 - 32/(32 + 107) = 1 - P(H | J) = P(kH | J)

b)

Unter den 160 Leuten mit Hautrötungen befinden sich 32 die auch einen Juckreiz haben. Das ist ein Anteil von 32/160 = 1/5 = 0.2

Würde man also unter diesen 160 Leuten 5 Leute mit Zurücklegen ziehen wäre die Binomialverteilung die exakte Wahrscheinlichkeit 5 mit Juckreiz zu erhalten.

0.2^5 * 0.8^15 Berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit der Pfadmultiplikationsregel in der bei 20 gezogenen Personen nur die ersten 5 auch einen Juckreiz haben.

(20 über 5) zählt die Menge der Pfade bei der genau 5 Personen einen Juckreiz haben. Weil nach der Pfadadditionsregel alle Pfade addiert werden kann ich auch die eine Pfadwahrscheinlichkeit mit der Anzahl der Pfade multiplizieren, weil alle Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Da man allerdings ohne zurücklegen zieht ändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Die Binomialverteilung gibt hier aber trotzdem einen recht guten Wert weil die Anzahl der Personen die gezogen werden gegenüber der Grundgesamtheit relativ gering ist.

c)

Die Formel beim ziehen ohne Zurücklegen folgt ist die der Hypergeometrischen Verteilung. Nach Laplace werden dabei die günstigen Möglichkeiten durch die Gesamtzahl der Möglichkeiten geteilt.

Der Nenner zählt also die Möglichkeiten die ich insgesamt habe aus 160 Leuten 20 Leute auszuwählen.

Der Zähler zählt nun die Möglichkeiten wie viele Möglichkeiten man hat 20 Leute aus 160 Auszuwählen, wenn dabei genau 5 Personen einen Juckreiz haben sollen.