Besitzt im Intervall eine Nullstelle?

Question

Aufgabe:

Besitzt die Funktion
\(x \longmapsto x^{5}+\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}-\sqrt[8]{x^{3}}-3\)
im Intervall [0,2] eine Nullstelle? Mit Begründung!

Problem/Ansatz:

Moin moin, könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

f(x)=x^5+ 2^(1/2)*x^(1/2)-x^(3/8)-3

f(x)=x^5+ 2^(1/2)*x^(1/2)-x^(3/8)-3      [0,2]

f(0)  =  - 3

f(2)=2^5+ 2^(1/2)*2^(1/2)-2^(3/8)-3 ≈  29,7 → In dem Intervall [0,2]  existiert eine Nullstelle.

mfG

Moliets

Answer 2

\(x \longmapsto x^{5}+\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}-\sqrt[8]{x^{3}}-3\)

Wenn du einen Taschenrechner benutzen darfst, kannst du es wie in der anderen Antwort angegeben machen. Allerdings solltest du noch ergänzen, dass die Funktion im Intervall [0;2] stetig ist.

Ohne Taschenrechner:

0 → -3

Der Funktionswert für x=2 kann abgeschätzt werden.

\(2^{5}+\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}-\sqrt[8]{2^{3}}-3\\=32+2-\sqrt[8]{8}-3\\=31-\sqrt[8]{8}>0\)

Die 8. Wurzel aus 8 liegt zwischen 1 und 2, daher liegt der Funktionswert zwischen 29 und 30.

:-)