Berechnen Sie die Länge der Kurve sowie das Wegintegral

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sei die Funktion \( f(\vec{x}) \) und die Kurve \( \vec{s}(t) \) im Intervall \( t \in[1,3] \). Berechnen Sie die Länge der Kurve \( \vec{s}(t) \) sowie das Wegintegral
\( f(\vec{x})=\frac{2 y}{x} \) \( \int \limits_{s} f(\vec{x}) \mathrm{d} s \) für die Kurve \( \vec{s}(t) \).
\( \vec{s}(t)=\left(\begin{array}{c}2 t \\ t^{2} \\ t^{3} / 3\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich das Wegintegral?

Answer 1

Das Wegintegral berechnet sich zu

$$ \int_\gamma f(\vec{x}) dx = \int_1^3 f(\overrightarrow{\gamma(t)}) \cdot \| \dot\gamma(t) \|_2 \ dt  $$ mit $$ f : \mathbb{R^3} \to \mathbb{R} \text{  und } f(\vec{x}) = \frac{2y}{x} $$ sowie $$ \gamma(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ t^2 \\ \frac{t^3}{3} \end{pmatrix} \text{ mit } t \in [1,3] $$ Daraus ergibt sich

$$\| \dot\gamma(t) \|_2 = \sqrt{4+4t^2+t^4} $$ und \( f(\overrightarrow{\gamma(t)}) = t \)

Also muss folgendes Integral berechnet werden

$$ \int_1^3 t \sqrt{4+4t^2+t^4} \ dt = \int_1^3 t (t^2+2) \ dt $$

Die Länge des Weges berechnet sich aus \(  \int_1^3 \| \dot\gamma(t) \|_2 \ dt \)

Comments

Achso jetzt hab ich es verstanden, danke!

Answer 2

Hallo

das Wegintegral steht doch in der Aufgabe. Vielleicht hast du vergessen d\( \vec{s} \)=\( \vec{s'} \)dt? und im Integral steht das Skalarprodukt.

Gruß lul

Comments

∫ (1 bis 3) (t) dt    Es ist aber ds = (t^2 + 2) dt

das Skalarprodukt bsteht aber doch nur zwischen Vektoren.

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Danke, ich hab mir f nicht wirklich angesehen. du hast recht.

lul

Answer 3

Aloha :)

Hier haben wir es mit einem Wegintegral über einem Skalarfeld zu tun. Das Ergebnis ist ein Vektor, weil über das Linienelement \(d\vec s\) der Vektorcharakter beigesteuert wird:$$\vec E=\int\limits_{s(t=1)}^{s(t=3)}f(\vec s)\,d\vec s=\int\limits_{t=1}^3\frac{2s_y(t)}{s_x(t)}\,\frac{d\vec s}{dt}\,dt=\int\limits_{t=1}^3\frac{2\cdot t^2}{2t}\begin{pmatrix}2\\2t\\t^2\end{pmatrix}\,dt=\int\limits_{t=1}^3\begin{pmatrix}2t\\2t^2\\t^3\end{pmatrix}dt$$

Die Integration geschieht komponentenweise:$$\vec E=\left[\begin{pmatrix}t^2\\[1ex]\frac23t^3\\[1ex]\frac{t^4}{4}\end{pmatrix}\right]_{t=1}^3=\begin{pmatrix}9\\18\\\frac{81}{4}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\[1ex]\frac23\\[1ex]\frac{1}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\\frac{52}{3}\\20\end{pmatrix}$$

Comments

Danke, aber wie kann ich die Kurvenlänge bestimmen?

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Da muss aber doch der Betrag von \( \frac{ds}{dt} \) genommen werden, oder vertue ich mich?

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Bei mir in den Lösungen steht 28

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Achso, du hattest nur nach dem Wegintegral über das Skalarfeld gefragt...

Die Kurvenlänge ist:

$$\ell=\int\limits_Cds=\int\limits_{t=1}^3\left\|\frac{d\vec s}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_{t=1}^3\left\|\begin{pmatrix}2\\2t\\t^2\end{pmatrix}\right\|\,dt=\int\limits_{t=1}^3\sqrt{4+4t^2+t^4}\,dt$$$$\phantom\ell=\int\limits_{t=1}^3\sqrt{(2+t^2)^2}\,dt=\int\limits_{t=1}^3(2+t^2)\,dt\left[2t+\frac{t^3}{3}\right]_{t=1}^3=\frac{38}{3}$$

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Kommt ja bei der Lösung oben auch raus, wenn man die Integralgrenzen einsetzt. Da ist auch erläutert wie man auf die Weglänge kommt.

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Ja, das Problem ist, dass offensichtlich nicht das Wegintegral$$\int f(\vec s)\,d\vec s$$gesucht ist, sondern das Integral über die Bogenlänge$$\int f(\vec s)\,ds$$Im ersten Fall kommt der Vektor raus, den ich berechnet habe, im zweiten Fall kommt \(28\) raus, was ullim bestimmt hat.