Stetigkeit von Wurzel x mit Epsilon-Delta-Kriterium beweisen. Richtig?

Question

die Funktion f sei gegeben mit $$f: [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{x}$$.

Jetzt möchte ich mit dem Epsilon-Delta-Kriterium beweisen, dass f stetig auf dem Intervall ist, also dass gilt:

$$\forall \epsilon > 0 \exists \delta ( x_0, \epsilon ) \forall x \in [0, \infty): |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon$$

Ich habe das so probiert:

$$|f(x)-f(x_0)| = |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| = |\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}| = \frac{|x-x_0|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} < \frac{\delta}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \le \frac{\delta}{\sqrt{x_0}} =: \epsilon$$.

Daraus folgt

$$\delta = \epsilon \cdot \sqrt{x_0}$$

Für dieses Delta sollte die obige Aussage dann gelten. Also ist f auf diesem Intervall [0, unendlich) stetig.

Richtig? Weiss jemand, wie man bei solchen Aufgaben eine Probe macht? Geht wahrscheinlich nur mit gründlichem Nachdenken, ob die Aussage nun wirklich stimmt mit diesem Delta... Aufwendig :(

Danke,

Thilo

Comments

Ersetze

Ich habe das so probiert:

Mit

Sei Epsilon > 0 gegeben. Ich konstruiere wie folgt ein Delta so dass |f(x)-f(xo)| < ∈, falls |x-xo| < ∂.

Konstruktion scheint ok. (Problem mit dem Bruch allerdings bei xo=0)

Probe: Setze xo+ ∂ ein anstelle von x ein in |f(x) -f(xo)|

Answer 1

deine Rechnung ist richtig, außer der Teil "\( \dots =: \varepsilon \)".

Da \( \varepsilon \) gegeben ist, muss \( \delta \) in Abhängigkeit von \( \varepsilon \) erklärt werden: \( \delta(\varepsilon) := \dots \).

Oder du deutest durch "\(  \frac{\delta}{\sqrt{x_0}}:= \varepsilon \)" an, dass du \( \delta \) entsprechend \( \delta(\varepsilon) = \varepsilon \sqrt{x_0} \) wählen willst.

Mister

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Der Fall x₀=0 muss einzeln betrachtet werden da δ>0 sein soll.