Hallo! Ich habe für mein Übungsblatt 2 Aufgaben zu lösen, und zwar:
1. wenn (an) konvergent, dann auch (a^2n)
2. wenn (a^2n) konvergent, dann auch (an)
Beweise oder Gegenbeispiel.
Für die erste Frage habe ich, zumindest denke ich das, eventuell einen brauchbaren Ansatz. Jedoch fehlt mir für die zweite Frage jegliche Idee. Hätte jemand eine Ahnung für die 2. Frage?
Anbei stelle ich meinen Lösungsvorschlag für die 1. Frage rein. Bitte um Korrektur/Verbesserung! Danke!
Text erkannt:
Da \( \left(a_{n}\right) \) kanvergent, gilt
\( \begin{array}{l} \forall \varepsilon>0: \exists N \in N\left|:\left|n z N=\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon\right.\right. \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \end{array} \)
2u betrachten : ( \( a_{n}^{2} \) ) Loonvergent?
\( \left|a_{n}^{2}-a^{2}\right|=\left|a_{n}-a\right| \cdot\left|a_{n}+a\right| \)
Da(an) konvergent, gilt auch beschroinkt, d.h.
\( \left|a_{n}\right| \leq M, M>0 \)
daher gilt auch: \( \left|a_{n}+a\right|<u+|a| \)
d.h. \( \forall_{n} \geq N:\left|a_{n}^{2}-a^{2}\right|=\left|a_{n}-a\right| \cdot\left|a_{n}+a\right| \leq \varepsilon \cdot\left(M+\left|b_{1}\right|\right) \) daraus fogt. Ur>o: JNEN: \( \forall n z N: \)
\( \left|a_{n}^{2}-a^{2}\right|<\varepsilon \cdot(M+|a|) \)
also \( \operatorname{Lim} a_{n}^{2}=a^{2} \)
\( n \rightarrow \infty \)
