Unabhänigigkeit von Verteilungsfunktionen

Question

Aufgabe:

Es seien \(X,Y: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) diskrete Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktionen \(F_x\) und \(F_y\).

a) Zeige, dass \(X\) und \(Y\) genau dann unabhängig sind, wenn $$\mathbb{P}(X \leq x, Y \leq y)= F_{X}(x)F_{Y}(y)$$ gilt.

b) Seien \(X\) und \(Y\) unabhängig. Berechne die Verteilungsfunktion von \(Z = max\{X,Y\}\).

Problem/Ansatz:

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Comments

Wie habt ihr denn Unabhängigkeit definiert? Man muss ja zunächst etwas aufpassen: Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Unabhängigkeit von Ereignissen, Unabhhängigkeit von Mengensystemen. Ist die Unabhängigkeit von \(X\) und \(Y\) über die Unabhängigkeit von \(\sigma(X)\) bzw. \(\sigma(Y)\) erklärt?

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Die Zufallsgrößen \(X_1,X_2,…,X_N\) heißen unabhängig, falls für alle  \(x_1,x_2,…,x_n \in \mathbb{R}\) die Ereignisse \(\{X_1=x_1\},…\{X_n=x_n\}\) unabhängig sind.

Und die Unabhängigkeit von Ereignissen ist folgendermaßen definiert:

\(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)*\mathbb{P}(B)\).

Das ist alles zur Unabhängigkeit was ich zu bieten habe.

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a)

Aus

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

und

A: X ≤ x
B: Y ≤ y

folgt

P(X ≤ x ∩ Y ≤ y) = P(X ≤ x) * P(Y ≤ y)
P(X ≤ x ∩ Y ≤ y) = F_X(x) * F_Y(y)

b)

Für

Z = max(X, Y)

gilt

P(Z ≤ z) = P(X ≤ z ∩ Y ≤ z)

F_Z(z) = F_X(z) * F_Y(z)

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a) ist unvollständig.