Thema: Matrizen Wirtschaftsmathe

Question

Text erkannt:

Lösen Sie mit dem Gauß-Algorithmus das Gleichungssystem \( A \cdot x=b \) :
a) \( A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -4 & 0 & 1\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \quad X=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 5\end{array}\right) \)
d) \( A=\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 2\end{array}\right) \)

Lösung:
\( x=\left(\begin{array}{c}12 \\ -11 \\ -8\end{array}\right) \)
b) \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -4 & -1 & 1\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) \)

Lösung:
\( x=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right) \)
e) \( A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \)

Lösung:
\( x=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right) \)
c) \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}0 \\ 8 \\ 7\end{array}\right) \)

Lösung:
\( X=\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 1\end{array}\right) \)
f) \( A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 3\end{array}\right) \)

Lösung:
\( x=\left(\begin{array}{c}5 \\ -7 \\ -1\end{array}\right) \)

Problem:

zum Beispiel Aufgabe A Man muss x ausrechnen aber ich komme nicht auf lösung von A . x= (1 darunter 2 darunter 5). wäre Sehr dankbar für Antwort.

Thema: matrizen gauß Algorithmus: Also A mal x =b.  Ist x= A hoch -1 also transponierte matrix mal b? checke nicht wie man auf x kommt?

Comments

Ist x= A hoch -1 also transponierte matrix mal b?

Nein, es ist - sofern eine Lösung existiert - \(x=A^{-1}b\).

Die Aufgabe verlangt aber, dass du das Ganze mit Gauß löst. Kennst du den Algorithmus? Und um beurteilen zu können, warum du nicht auf das Ergebnis kommst, müssen wir schon deine Rechnung sehen.

Answer 1

a)

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & | & -1 \\ 1 & -2 & 1 & | & 2 \\ -4 & 0 & 1 & | & 1\end{pmatrix} \newline \text{2*II - I ; III + 2*I} \newline \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & -5 & 3 & | & 5 \\ 0 & 2 & -1 & | & -1\end{pmatrix} \newline \text{5*III + 2*II} \newline \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & -5 & 3 & | & 5 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5\end{pmatrix} \newline \text{I + III ; II - 3*III} \newline \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & | & 4 \\ 0 & -5 & 0 & | & -10 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5\end{pmatrix} \newline \text{I + 1/5*II} \newline \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & | & 2 \\ 0 & -5 & 0 & | & -10 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5\end{pmatrix} \newline \text{1/2*I ; -1/5*II} \newline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5\end{pmatrix} \newline$$

Comments

Je nachdem wie es in der Schule oder Uni erklärt wurde, empfehle ich manchmal das Gleichungssystem auf die übliche weise zu notieren und auch nicht in der ersten Spalte die Koeffizienten auf null zu bringen. Oft kann man sich viele Nullen im Gleichungssystem zur Arbeitserleichterung zunutze machen.

Ich mache daher nochmals auf andere Weise Aufgabe f) vor.

x + 2·z = 3
x + z = 4
2·x + y = 3

I - II

z = -1

Das kann man jetzt direkt in die I. oder II. Gleichung einsetzen, um x zu bestimmen.

x + (-1) = 4 → x = 5

Das kann man direkt in die III. Gleichung einsetzen, um y zu bestimmen.

2·(5) + y = 3 → y = -7

Damit ist die Lösung x = 5 ; y = -7 ; z = -1

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Zu guter Letzt möchte ich an viele Apps verweisen, die helfen solche Gleichungssysteme mit Schritt-für-Schritt-Anleitung zu lösen. Diese gehen meist aber sehr stupide vor und ignorieren evtl. geschickte Umformungsschritte, die einem das Leben erleichtern. Ich verwende sie größtenteils also nur, wenn ich tatsächlich eine schnelle Lösung zur Kontrolle benötige. Das ist bei dir aber hinfällig, weil du ja bereits Kontroll-Lösungen zu den Aufgaben hast.

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Ich mache daher nochmals auf andere Weise Aufgabe f) vor.
x + 2·z = 3
x + z = 4
2·x + y = 3

Viel anschaulicher und griffiger.

Zur Kontrolle:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

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Es ist hier nach der Anwendung des Gauß-Algorithmus gefragt. Dazu gibt es versch. Varianten, allen gemeinsam ist ein geordnetes Vorgehen nach gewissen Regeln (und zugehörige Notationen). Die hier zugrunde liegenden Formulierungen und Notationen kennen wir nicht.

Z.B. ist das hier vorgeführte Vorgehen nicht der Gauß-Algorithmus aus einer Numerik-Vorlesung.

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Danke Der_Matecoach auf die 1