Extremwerte von sin²(x) im Intervall [0,pi]

Question

Hallo. In dieser Aufgabe habe ich ein Problem mit dem bestimmen der 2. Extremstelle.

Also es sollen die Extremwerte von f(x) = sin²(x) im Intervall [0,π] ermittelt werden.
$$f(x)\quad =\quad sin²(x)\quad ->\quad f(x)\quad =\quad sin(x)²\\ 1.\quad f'(x)\quad =\quad 0:\\ 2*cos(x)*sin(x)\quad =\quad 0\quad |:2\\ cos(x)*sin(x)\quad =\quad 0\quad |{ cos }^{ -1 }\quad |\quad { sin }^{ -1 }\\ x*x\quad =\quad 0\quad ->\quad x²\quad =\quad 0\quad ->\quad x\quad =\quad 0$$

Zeichnet man diese Funktion ist ja zu erkennen, das es 1 extrem stelle bei 0 und eine bei pi/2 gibt.

Doch wie beweise ich nun rechnerisch, das es noch eine weitere Extremstelle gibt? Ich selber würde jetzt einfach:
f ' ' (0) und f ' ' (pi/2) sowie f ' ' (pi) einsetzen aber dies tu ich weil ich es abgelesen habe, aber nicht rechnerisch.

Comments

Raus kommen die Extremstellen:

f ' ' (0) = 2 -> Tiefpunkt

f ' ' (pi/2) = -2 -> Hochpunkt

f ' ' (pi) = 2 -> Tiefpunkt

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Bild nachgereicht:

Answer 1

f'(c) = 2*sinx*cosx

kann man auch so schreiben f'(x) = sin (2x)

Wenn wir das Null setzen, dann bekommen wir als Lösungen x = k*π/2 für k ∈ Z

Da nun aber nur das Intervall von 0 bis π relevant ist, erhalten wir rechnerisch  x₁ = 0  (k = 0) und x₂ = π/2 (k = 1)

Answer 2

Hallo Timori,

gesucht sind die Extremstellen von [ sin ( x ) ]^2

Die Extremstellen von sin ( x ) sind bei

π / 2 : Hochpunkt und
3 * π / 2 : Tiefpunkt

Durch das quadrieren ändert sich an der Stelle x nichts.
Nur der Funktionswert wird quadriert.

mfg Georg

Comments

WIe komme ich jedoch auf pi/2 und 3*pi/2 rechnerisch? In meiner Berechnung kommt ja nur 0 raus..

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Ich habe einen Fehler gemacht den ich richtigstellen möchte.

 

Die blaue Kurve ist die sinus-Kurve.

[sin ( x) ]^2 abgeleitet ist
f ´( x ) = 2 * sin ( x ) * cos ( x)
Für die Extremstelle gilt f ´ ( x ) = 0
Ein Produkt ist dann null wenn mindestens einer der
Faktoren gleich null ist. Also
sin ( x ) = 0 und/oder cos ( x ) = 0.
Die blaue sinus-Kurve sollte immer vor seinem
geistigen Auge haben und skizzieren können.
sin ( x ) = 0 bei x = 0, x = π und x = 2 * π
f ´( x ) ist bei diesen x-Werten gleich null.
cos ( x ) = 0 bei x = π / 2  und x = 3 * π / 2
f ´( x ) ist bei diesen x-Werten ebenfalls gleich null.
Also ergeben sich für f ´( x ) = 0 insgesamt 5 Nullstellen
und für f ( x ) 5 Extremstellen. Siehe rote Kurve.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

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Ja es ist nachvollziehbar :). Es wären 5 Extremstellen für das Intervall [0,2*pi]. Doch mein Intervall reichte nur von 0 - pi. Deshalb hatte ich deine Erklärung mit dem 3*pi/2 nicht ganz verstanden. Denn dies übersteigt ja den Intervall.

Habe es nun verstanden. Vielen Dank

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Muß ich wohl doch genauer lesen.

Wichtig ist das man die sin-Funktion als Skizze aufmalen kann,
dass die Nullpunkte und Extrempunkte bekannt sind.
Die cos-Funktion ist eine um π / 2 nach links verschobende
sin-Funktion.

mfg Georg