Da es hier grundsätzlich um die Binomialverteilung geht, können folgende Werte berechnen werden:
\(n\), \(k\), \(p\) und \(P(X\ldots)\).
Schauen wir doch mal, welche Angaben wir kennen und was berechnet werden muss.
Dafür nehmen wir die Aufgabenstellung einmal auseinander:
Wie viele Plätze müssen ... freigehalten werden
Es wird hier nach der Anzahl der Plätze gefragt. Es ist also keine Wahrscheinlichkeit gesucht. Es kann sich daher nur um \(n\) oder \(k\) handeln. Liest man die Aufgabe weiter, ergibt sich schnell, dass es sich hier um \(k\) handeln muss. Daraus folgt, dass alle anderen Größen irgendwo gegeben sein müssen.
Wie viele Plätze müssen für 100 Reservierungen freigehalten werden, wenn mit wenigstens \( 95 \% \) Wahrscheinlichkeit alle Erschienenen einen Platz erhalten sollen?
Hierbei muss es sich dann um \(n\) handeln, denn ich muss nun für jede Reservierung prüfen, ob die Person erscheint oder nicht (Benoulli-Experiment). Hier liegt dann eine Bernoulli-Kette der Länge 100 vor.
Die Information über die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) dieses Experiments, findet man im Einleitungstext. Es hängt nun davon ab, ob die Zufallsvariable \(X\) die Anzahl der erschienenen Personen oder der nicht erschienenen Personen angibt. Danach wählt man dann das \(p\).
..., wenn mit wenigstens \( 95 \% \) Wahrscheinlichkeit
Das kann nur \(P\) sein und es muss \(P\geq 0,95\) gelten (wenigstens).
Wie viele Plätze müssen für 100 Reservierungen freigehalten werden, wenn mit wenigstens \( 95 \% \) Wahrscheinlichkeit alle Erschienenen einen Platz erhalten sollen?
Damit nun alle Erschienenen einen Platz erhalten, dürfen höchstens so viele Personen erscheinen, wie ich Plätze \(k\) zur Verfügung stelle (\(X\leq k\)) Und genau das ist unser gesuchtes \(k\). Ich habe hier nun angenommen, dass \(X\) die Anzahl der Erschienenen ist. Ich muss daher mit \(p=1-0,05=0,95\) rechnen.
Mit den gegebenen Werten kann man nun den notwendigen Ansatz aufstellen, nämlich
\(P_{n=100;p=0,95}(X\leq k)\geq 0,95\).
Lösen kann man das beispielsweise durch Ausprobieren. Das geht in der Regel recht schnell, da die Werte entweder größer oder kleiner werden, wenn man \(k\) vergrößert oder verkleinert.
