Wie erstelle ich eine Gerade g die parallel zu g:x = r(1/0/1) ist?

Question

Aufgabe:

Die Ebene E ist festgelegt durch die Punkte A(1/-1/1), B(1/0/1) und O(0/0/0)

a) Geben Sie eine Gleichung der Ebene E und Parametergleichungen zweier Geraden g und h an, die in der Ebene E liegen und zueinander parallel sind.

b) Geben Sie Parametergleichungen zweier Geraden k und l an, die in der Ebene E liegen und sich schneiden.

a) E:x= r • (1/-1/1) + t (1/0/1)

g: x = r (1/0/1)

Mein Problem nun: Wie erstelle ich eine Gerade g die parallel zu g:x = r(1/0/1) ist? Gibt es da irgendwie Kriterien? Ich dachte an Vielfaches vom RV? Oder wie macht man das?

Mein Problem bei b) ist das gleiche. Also wie erstelle ich genau solche Geraden, die sich schneiden und in der Ebene liegen?

Comments

Wie erstelle ich eine gerade g die PARALLEL zu g:x = r(1/0/1) ist?

Du sollst vielmehr die Gleichung einer Geraden h aufstellen.

Andere Gerade, anderer Name.

Answer 1

Vielleicht erst einmal die Vorstellung, um was es geht klären und dann die Lösung suchen.

Hier ist Deine Aufgabe a):

Du siehst die drei Punkte A, B und O durch die die Ebene läuft. Ein Richtungsvektor ist eingezeichnet (der von O zu B) sowie die Gerade mit diesem Richtungsvektor.

Eine parallele Gerade in der Ebene hat also denselben Richtungsvektor, muß aber durch einen anderen Punkt der Ebene laufen. Denk an die allgemeine Geradengleichung, die beginnt mit dem ‚Aufpunkt‘, einem beliebigen Punkt auf der Geraden. Bei Dir ist es bei g (0,0,0), daher kommt er nicht explizit vor, aber eigentlich steht da x= (0,0,0) + r(1,0,1).

Welche anderen Punkte der Ebene kennst Du?

Answer 2

Deine Gerade g verläuft durch den Ebenenpunkt O und hat die Richtung (1/0/1).

Eine dazu parallele Gerade h (auch in der Ebene E) könnte die gleiche Richtung haben, muss aber durch einen anderen Punkt dieser Ebene verlaufen. Einzige Einschränkung: Diese Gerade h darf den Punkt O nicht enthalten, sonst wären g und h identisch.

Versuche mal, ob eine Gerade durch B mit dem Richtungsvektor (1/0/1) passen könnte.

Comments

Aha, also einfach den SV irgendwie verändern? Egal wie?

---

Nein, nicht egal wie.

Erstens: Die Gerade h soll auch in der Ebene E liegen.

Da darfst du den Stützvektor nicht zu einem Punkt führen, der gar nicht in E liegt.

Zweitens:

Diese Gerade h darf den Punkt O nicht enthalten, sonst wären g und h identisch.

Wenn du für h z.B. die Gleichung

x = (-1/0/-1) + r·(1/0/1) wählen würdest, wäre diese Gerade identisch mit

g: x = s·(1/0/1).

Answer 3

Die Gerade g hast du ja schon geschickt gewählt, sie verläuft durch den Ursprung O. Nun suchst du in Aufgabenteil a) eine zu g parallele Gerade h, die in der Ebene E liegt. Für h übernimmst du (zum Beispiel) den Richtungsvektor von g und suchst dir als Stützvektor einen (von O verschiedenen) Ortsvektor eines Punktes aus E.

Answer 4

a) 

E: x = r·(1/-1/1) + t·(1/0/1)

Deine Ebene ist richtig. Geschickter wäre allerdings

E: x = r·(1/0/1) + t·(0/1/0)

g: x = r (1/0/1)

g geht damit durch (0/0/0) und (1/0/1) aber nicht durch (1/-1/1) also kann die zweite Gerade

h: x = (1/-1/1) + r·(1/0/1)

lauten

b)

g: x = r·(1/0/1)
h: x = t·(0/1/0)

Comments

g geht damit durch (0/0/0) und (1/0/1) aber nicht durch (1/-1/1) also kann die zweite Gerade

somit orientiert man sich an den Punkten? Also immer? Sprich: man kann nicht einfach einen neuen Punkt als SV nehmen oder?

g: x = r·(1/0/1)
h: x = t·(0/1/0)

Woher weiss man jetzt dass die sich schneiden?

---

somit orientiert man sich an den Punkten? Also immer? Sprich: man kann nicht einfach einen neuen Punkt als SV nehmen oder?

Eine Gerade ist eine unendlich große Menge an Punkten. Stell dir die Punkte O, A und B in einem Koordinatensystem vor. Diese Punkte bilden ein Dreieck.

Jetzt sollst du zwei Geraden angeben, die Parallel liegen: Dann kannst du eine Gerade durch 2 der Punkte z.B. O und A gehen lassen. Die zweite Gerade kann dann den Stützvektor B haben und den gleichen Richtungsvektor der ersten Gerade.

Wenn du zwei Geraden angeben sollst, die sich schneiden, dann kannst du einmal die Gerade durch O und A und einmal die Gerade durch O und B nehmen. Da beide Geraden den Punkt O enthalten, ist das der Schnittpunkt.

---

Vielleicht kann es dir helfen, wenn du ein Geometrieprogramm zur Hilfe nimmst

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=punkt(0%7C0%7C0%20%22O%22)%0Apunkt(1%7C-1%7C1%20%22A%22)%0Apunkt(1%7C0%7C1%20%22B%22)%0Adreieck(0%7C0%7C0%201%7C-1%7C1%201%7C0%7C1)%0Agerade(0%7C0%7C0%201%7C-1%7C1)%0Agerade(0%7C0%7C0%201%7C0%7C1)%0Agerade(1%7C-1%7C1%201%7C0%7C1)

Dort kann man sich das in 3D von allen Seiten ansehen, sodass man sich das besser vorstellen kann.