Ich nenne das Ausgangsintegral im Folgenden stets \(I\). Zerlege erst einmal:$$\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}$$ Dann gilt:$$I=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx-\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(x)}{1+x^2}\,dx.$$ Das erste Integral sollte bekannt sein, es ist \(=\pi/2\). Für das zweite Integral wenden wir den Residuensatz an. Wir betrachten die Funktion \(g(z)=\frac{z\,e^{i\,z}}{1+z^2}\) die Pole bei \(z=\pm i\) besitzt. Bedenke, dass \(\sin(z)=\operatorname{Im}(e^{iz})\).
Du kannst den Residuensatz dann in dieser Form anwenden. Nach dem Residuensatz ergibt sich das Integral über den geschlossenen Weg \(\gamma\) (der wird dort näher beschrieben): $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z\,e^{i\,z}}{1+z^2}\,dz=\int_{\gamma}g(z)\,dz=2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{2}=\pi i\,e^{-1},$$ da ja $$\mathrm{Res}(g(z),z=i)=\lim_{z\to i}\frac{z\,e^{i\,z}}{z+i}=\frac{i\,e^{i\,i}}{2i}=\frac{e^{-1}}{2}$$Der Imaginärteil dieses Ausdrucks liefert (um wieder zurück zum \(\sin\) zu kommen):$$\mathrm{Im}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z\,e^{i\,z}}{1+z^2}\,dz\right)=\pi e^{-1}.$$ Da \(x\sin(x)\) gerade ist, gilt:
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(x)}{1+x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(x)}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}e^{-1}. $$
Also insgesamt:$$ I=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}e^{-1}=\frac{\pi}{2}(1-e^{-1}). $$
