könnte Hilfe bei folgender Aufgabe brauchen :
Aufgabe:
a.) Bestimmen Sie die Residuen an den Polstellen von f(z) = \( \frac{e^{iz}}{z²+4} \)
b.) Berechnen Sie unter Verwendung des Residuensatzes das Kurvenintegral ∫C f(z) dz, wobei C einen kreisförmigen Weg der Form | z-i | = 2 bezeichne.
Problem/Ansatz:
a.) Polstelle bei 2i und -2i
Resf (2i) = \( \lim\limits_{z\to 2i} \) (z-2i) * \( \frac{e^{iz}}{(z+2i)(z-2i)} \) = \( \frac{e^{-2}}{4i} \) = \( \frac{-i}{4e^2} \)
Resf (-2i) = \( \lim\limits_{z\to -2i} \) (z+2i) * \( \frac{e^{iz}}{(z+2i)(z-2i)} \) = \( \frac{-e^{2}}{4i} \) = \( \frac{e^2*i}{4} \)
Jetzt weiß ich nicht wie ich bei einem Kurvenintegral mti dem Residuensatz vorgehen soll könnte jemand helfen ?
Bei einem reellen Integral hatte ich halt einfach :
\( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) ... = 2 π i * \( \sum\limits_{Imz0>0}^{}{Resf (z0)} \)
Was auch geklappt hat indem ich nur die Residuen eingesetzt habe bei denen die Polstellen positiv sind.
Allerdings weiß ich jetzt wie gesagt nicht wie es beim Kurvenintegral aussieht und was ich mit | z-i | = 2 mache.
Liebe Grüße Kevin