$$\int\limits_{0}^{2\pi} e^{cos \phi + i sin \phi} d\phi = \int\limits_{0}^{2\pi}e^{cos \phi}· e^{i sin\phi}d\phi = \int\limits_{0}^{2\pi}e^{cos \phi} (cos \phi + i sin \phi) d\phi$$
Beim letzten Schritt hast du schon einen Fehler gemacht. Rauskommen sollte:
$$ \int_0^{2\pi} e^{\cos(\phi)} \left[ \cos(\sin(\phi)) + i\sin(\sin(\phi)) \right]d\phi $$
Aber dieser Weg wird vermutlich nicht zielführend sein. Die Stammfunktion des Integranden ist nicht analytisch, also musst du mit einem Trick arbeiten.
Schau dir das Integral mal genau an: \( e^{e^{ix}} \) und \(x\) läuft von \( 0 \) bis \( 2\pi \) du berachtest ja also irgendwie \( e^z \) wobei \( z = e^{ix} \) den Einheitskreis genau einmal abläuft.
$$ \gamma : [0,2\pi] \to \mathbb{C}, t \mapsto e^{it} $$
Ist die entsprechende Kurve dazu. Wir wollen das Integral jetzt als Kurvenintegral über eine meromorphe Funktion \( f \) schreiben:
$$ \int_0^{2\pi} e^{e^{it}} dt \stackrel{!}{=} \int_\gamma f(z)dz = \int_0^{2\pi} f(e^{it}) ie^{it} dt $$
Wir vergleichen jetzt die Integranden:
$$ f(e^{it}) ie^{it} = e^{e^{it}} \longleftrightarrow f(z) iz = e^z \longleftrightarrow f(z) = \frac{-i e^z}{t} $$
und erhalten so eine Darstellung als Kurvenintegral:
$$ \int_\gamma \frac{-i e^z}{z} dz = \int_0^{2\pi} e^{e^{it}} dt $$
Die linke Seite kannst du jetzt mit dem Residuensatz leicht ausrechnen.
