Gleichung der Tangente an Funktion f

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{3}+x^{2}-6 x \).
Ermittle die Gleichung der Tangente an die Funktion \( f \) im Punkt \( P=(-1 \mid 6) \).

Problem/Ansatz: Wie soll ich vorgehen ?

Text erkannt:

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{3}+x^{2}-6 x \).
Ermittle die Gleichung der Tangente an die Funktion \( f \) im Punkt \( P=(-1 \mid 6) \).

Answer 1

Da hier so viele immer mit der direkten Tangentengleichung arbeiten, was nicht notwendig ist, einmal der direkte Ansatz:

Eine Tangente ist eine Gerade, hat also immer eine Gleichung der Form \(y=mx+b\).

Die vorgegebene Stelle (oder der Punkt) sei \(P(x_0|y_0)\).

Da die Tangentensteigung über die Ableitung berechnet werden kann, gilt \(m=f'(x_0)\).

Jetzt braucht man nur folgendes Vorgehen:

1. Bestimme, falls nicht angegeben \(y_0=f(x_0)\) (hier nicht notwendig).

2. Bestimme \(m=f'(x_0)\).

3. Setze \(x_0\), \(y_0\) und \(m\) in den Ansatz \(y=mx+b\) ein und löse nach \(b\) auf.

4. Gib die Tangentengleichung in der Form \(t(x)=mx+b\) an, indem du die Werte von \(m\) und \(b\) ersetzt.

Man muss sich hier also weder die Zweipunktform, Punktsteigungsform noch die Tangentengleichung merken, sondern nur wissen, wie eine Gerade allgemein aussieht. Das sollte aber ohne größere Probleme bekannt sein (wird ja oft genug durchgekaut). Die genannten Formeln werden im Unterricht oft gar nicht erst erwähnt, weshalb ich ein Auswendiglernen nicht empfehlenswert finde.

Comments

Kleiner Druckfehler bei 2.

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Tippfehler. Ist aber korrigiert. Danke. :)

Answer 2

Hallo

das Vorgehen hab ich doch in deiner anderen Aufgabe erklärt? Steigung aus Ableitung bei x=-1 , dann Gerade durch den Punkt (-1,6)=(-1,f(-1))

lul

Answer 3

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{3}+x^{2}-6 x \). Ermittle die Gleichung der Tangente an die Funktion \( f \) im Punkt \( P=(\red{-1} \mid \green{6}) \).

\( f'(x)=3x^{2}+2x-6  \)

\( f'(\red{-1})=3-2-6=\blue {-5 } \)

Nun weiter mit der Punktsteigungsform der Geraden:

\( \frac{y-\green{6}}{x-(\red{-1})}=\blue {-5 } \)

\( \frac{y-6}{x+1}=-5 \)

Jetzt nach y auflösen.

Answer 4

Aloha :)

Allgemein lautet die Tangente \(t(x)\) an eine Funktion \(f(x)\) im Punkt \((\red{x_0}|\green{y_0})\) so:$$t(x)=\green{y_0}+f'(\red{x_0})\cdot(x-\red{x_0})$$

Hier ist uns der Punkt \((\red{-1}|\green6)\) vorgegeben, also ist \(\red{x_0=-1}\) und \(\green{y_0=6}\):$$t(x)=\green6+f'(\red{-1})\cdot(x-(\red{-1}))$$$$\phantom{t(x)}=6+f'(-1)\cdot(x+1)$$

Uns fehlt noch die Ableitung der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \((-1)\):$$f(x)=x^3+x^2-6x\;\implies\;f'(x)=3x^2+2x-6\;\implies\;f'(-1)=-5$$

Damit sind wir fertig:$$t(x)=6+(-5)\cdot(x+1)\quad\implies\quad t(x)=-5x+1$$

Answer 5

Theoretisch muss die y-Koordinate in der Aufgabenstellung nicht vorgegeben sein. Ich arbeite hier nur mal mit der x-Koordinate:

Ermittle die Tangente an den Graphen von f(x) = x³ + x² - 6x an der Stelle a = -1.

Funktion und Ableitung
f(x) = x³ + x² - 6x
f'(x) = 3x² + 2x - 6

3 Dinge, die du zum Aufstellen der Geradengleichung benötigst.
a = -1   (x-Koordinate des Punktes)
f(a) = f(-1) = (-1)³ + (-1)² - 6(-1) = 6   (y-Koordinate des Punktes)
f'(a) = f'(-1) = 3(-1)² + 2(-1) - 6 = -5   (Steigung in dem Punkt)

Tangente in der Punkt Steigungsform aufstellen und bei Bedarf ausmultiplizieren.
t(x) = m·(x - Px) + Py = f'(a)·(x - a) + f(a) = -5·(x - (-1)) + 6 = -5·x + 1

Skizze
~plot~ x^3+x^2-6x;{-1|6};-5x+1;[[-4|3|-5|9]] ~plot~

Comments

Theoretisch braucht man vom Punkt P keine y-Koordinate.

Deswegen verwendest du sie auch in deiner Rechnung... Die Aussage ist also falsch.

Was du meinst: die \(y\)-Koordinate muss nicht vorgegeben sein, da man sie berechnen kann, falls sie nicht angegeben ist. Wenn sie angegeben ist, kann man sich den Schritt der Berechnung selbstverständlich sparen.

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Ich habe die Aussage abgeändert.