Bestimme jeweils die Konstante C und die Verteilungsfunktion F(x) .

Question

Aufgabe:

Sei \(X\) eine stetige Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). Bestimme jeweils die Konstante \(C\) und die Verteilungsfunktion \(F(x)\).

a)\(f(x)=C\), falls \(x \in [a,b]\), für \(a,b \in \mathbb{R}\) mit a<b und 0 sonst.

b)\(f(x)=Cx^2\), für \(|x| \leq 1\) und 0 sonst.

c) \(f(x)= C(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\), für \( 0 \leq x \leq 1\) und 0 sonst.

d) \(f(x)= C exp(-x-e^{-x})\), für \(x \in \mathbb{R}\).

Ich bräuchte Hilfe wie man die Integrale richtig berechnet.

Comments

Wir brauchen Deine Hilfe bei der Beantwortung Deiner Fragen. Also, was hast Du schon erledigt, was ist noch offen, was ist unklar?

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Also ich bräuchte Hilfe wie man die Konstante C bestimmt. Ich weiß schon, dass man dafür die Integrale der Funktionen innerhalb der gegebenen Grenzen berechnen soll, aber irgendwie hackt es bei mit. Bei der a) habe ich \(C= \frac{1}{b-a}\) rausgekriegt, was das berechnen der Verteilungsfunnktion komisch macht. Bei der b) und d) bin ich mir nicht sicher wie man die Grenzen überhaupt setzen soll.

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Ist d) richtig aufgeschrieben?

Du kannst die Grenzen bei allen Aufgaben analog zu a) erschließen, z.B. bei b) muß ja Betrag von x kleiner gleich 1 sein.

Bei c) ist es eine interessante Zusatz-Überlegung, warum die Singularität von f(x) bei x=1 kein Problem darstellt.

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d) ist genau so gestellt, wie ich es aufgeschrieben habe.

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Ja, ok. Zum Lösen des Integrals verwendet man dann zuerst eine Potenzregel und dann eine geeignete Substitution.

Answer 1

Dein \(C\) für a) stimmt.

Es ist jeweils \(\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\, dx\) zu berechnen (danach \(=1\) setzen und nach \(C\) umstellen. Das sind die Grenzen in allen(!) Fällen. Die konkrete Berechnung vereinfacht sich aber dann, da man nur über Intervalle integrieren muss, wo \(f(x)\neq 0\) ist. Wenn Du das an der Def. nicht erkennst, skizziere die Funktion.

Wenn was "komisch" wird, lade Deine Rechnung hoch, damit man sieht was Du meinst.

Comments

Okay, ich habe erstmal bei den anderen Teilen versucht das C zu bestimmen.

b) \(\int_{-1}^{1} x^2 dx\) , also ist C=\(\frac{3}{2}\)

c) \(\int_{0}^{1} (1-x^2)^{-1/2} dx\), also ist C= \(\frac{1}{\pi/2}\)

d)\( \int_{-\infty}^{\infty} exp(-x-e^{-x}) dx\), also ist C= 1.

Ich hoffe dass es so weit richtig ist.

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Sieht gut aus,

jetzt noch F(x) berechnen…

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Bei b) habe ich \(F(x)= \frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}\) und bei d) \(F(x)=e^{-e^{-x}}\).

Aber bei a) und c) bin ich ratlos. Bei a) hat man das Integral \(\int_{a}^{x} \frac{1}{b-a}\) und da bin ich mir nicht sicher wie man das integrieren soll.

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Bleiben wir erst mal bei b).

Das ist fast richtig. Fast, weil die Verteilungsfunktion bestimmte Eigenschaften hat, was den Wertebereich angeht. Schau Dir mal ein Beispiel an, wozwischen liegen die Werte?

Also mußt Du F(x) entsprechend (abschnittsweise) definieren.

Bei a) integrierst Du nur eine Konstante, das ist vielleicht zu leicht für Dich? ;-)

Du integrierst j Ansicht nach x…

$$F(x) = \int \limits_{-∞}^{x}f(t)dt$$

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‚Du integrierst ja nicht nach x‘ sollte das heißen (blöde Autokorrektur)

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Ehrlich gesagt verstehe ich nicht wie man b) definieren soll und bei der a) verstehe ich schon, dass man nach einer Konstante integrieren soll, aber man hat ja \(\int \frac{1}{b-a}\). Also zwei Variablen, oder muss ich b-a einfach mit der Konstante ersetzen?

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b) F(x) liegt zwischen Null und 1, für x>1 ist F(x) =1, für x<-1 Null

a) Du integrierst nach t, b und a sind Konstante und x ebenfalls wenn nach t integriert wird.

Also einfach F(x)= (x-a)/(b-a) für a<=x<=b und 0 bzw. 1 sonst.

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Das kommt davon, wenn man beim Integral das \(d..\) weglässt.

Es geht für Dich in a) daher um \(\int\limits_a^x \frac1{b-a}\bf dt\).