Kann man das hier mit dem Zassenhaus- Algorithmus lösen?

Question

Aufgabe:

Bestimme die Basen von span(U1) + span(U2) und span(U1) Schnitt span(U2) für

U1 = {(1 0 1 2), (0 1  1 1)} und U2 = {(1 1 4 0), (2 -3 -1 1), (3 1 0 0) } Teilmengen R^4

Problem/Ansatz

Kann man das hier mit dem Zassenhaus- Algorithmus lösen?

Wäre diese Matrix richtig aufgeschrieben?

1 0 1 2    1 0 1 2
0 1 1 1    0 1 1 1

1 1  4 0   0 0 0 0
2 -3 -1 1  0 0 0 0
3 1 0 0    0 0 0 0

Die linke Seite dann auf Zeilenstufenform bringen und somit hat man dann die beiden Lösungen. Ist das korrekt?

Comments

So hätte ich es gemacht. Ist das Korrekt?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cccccccc}\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -2 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & -3 & -3 & -3 & -2 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & -2 & -3 & -3 & 0 & -3 & -3 & -3 \end{array}\right)\\\\ \leadsto\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & -2 & -\frac{5}{2} \end{array}\right) \\\\\\ \leadsto\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{2} & -1 & -\frac{1}{2} & -1 & -\frac{2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{2}{2} & -2 & -\frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 1 & -1 \end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -1 & -\frac{2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 1 & -1 \end{array}\right) \\\\ \leadsto\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} & \frac{4}{5} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 1 & -1 \end{array}\right) \\ \\\\\text { Demnach ist }\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -\frac{3}{2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right) \\\\ \text { Basis von } \alpha(\pi)+\delta(N) \\\\ \text { und }\left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \text { Baris ven } \mathcal{L}(n) \cap \mathcal{L}(N) \end{array} \)

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Bestimme die Basen von span(U1) + span(U2) und span(U1) Schnitt span(U2)

Kann man das hier mit dem Zassenhaus- Algorithmus lösen?

Der Zassenhaus-Algorithmus ist ein Algorithmus zur Bestimmung von Schnitt- und Summenbasen von zwei Untervektorräumen in der Linearen Algebra. [Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Zassenhaus-Algorithmus]

=> Ja, kann man!

Wäre diese Matrix richtig aufgeschrieben?

1 0 1 2    1 0 1 2
0 1 1 1    0 1 1 1

1 1  4 0  0 0 0 0
2 -3 -1 1  0 0 0 0
3 1 0 0    0 0 0 0

Ja, ist richtig aufgeschrieben.

Die linke Seite dann auf Zeilenstufenform bringen und somit hat man dann die beiden Lösungen. Ist das korrekt?

Du solltest, die ganze Matrix auf Zeilenstufenform bringen, nicht nur den linken Block. Sonst erhältst du im Allgemeinen nur ein Erzeugendensystem des Schnitts im rechten Block. Zeilenstufenform garantiert dir immer die lineare Unabhängigkeit der Zeilen.

So hätte ich es gemacht. Ist das Korrekt?

Ja, dein Ergebnis ist richtig.

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Du kannst solche Rechenaufgaben auch easy selbst überprüfen:

https://sagecell.sagemath.org/

Folgender Code, berechnet dir die strenge Zeilenstufenform von A:

A = matrix(QQ, [[1,0,1,2,1,0,1,2],[0,1,1,1,0,1,1,1],[1,1,4,0,0,0,0,0],[2,-3,-1,1,0,0,0,0],[3,1,0,0,0,0,0,0]])
print(A.echelon_form())

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Vielen Dank für deine Hilfe und die Erklärung!