Aloha :)
Die 4 Vektoren \(v_1,v_2,v_3,v_4\) sind linear abhängig. Wir sollten daher eine einfache Basis für \(\text{lin}(v_1,v_2,v_3,v_4)\) berechnen können:
$$\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\1 & 0 & -2 & 3\\1 & 1 & 2 & -2\end{array}\right)\;\begin{array}{c}{}\\{}\\{-Z1}\\{-Z1}\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & -1 & -3 & 2\\0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\;\begin{array}{c}{}\\{}\\{+Z2}\\{}\end{array}\quad\to$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & 0 & -1 & 3\\0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\;\begin{array}{c}{}\\{}\\{\cdot(-1)}\\{+Z3}\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & -3\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$Also ist:$$\text{lin}(v_1,v_2,v_3,v_4)=\text{lin}\left(\,\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\\1\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\-3\end{array}\right)\,\right)$$Der Vektor \((1,1,x,y)^T\) ist genau dann eine Linearkombination der 3 Basis-Vektoren, wenn die Determinante aus ihm und den 3 Basis-Vektoren verschwindet:$$0\stackrel{!}{=}\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & -3\\1 & 1 & x & y\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & -3\\0 & 0 & x-1 & y-1\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & -3\\0 & 0 & 0 & (y-1)+3(x-1)\end{array}\right|=(y-1)+3(x-1)=3x+y-4$$$$\leadsto\quad \underline{3x+y=4}$$