Seien a ∈ R und v1, v2, v3 ∈ R3 mitv1 := (a2, 0, 1)T, v2 := (0, a, 2)T, v3 := (1, 0, 1)T.

Question

Aufgabe:

Seien a ∈ R und v1, v2, v3 ∈ R^3 mitv1 := (a^2, 0, 1)T, v2 := (0, a, 2)T, v3 := (1, 0, 1)T.

a) Bestimmen Sie die Dimension von U := Span{v1, v2, v3} in Abhängigkeit von a.

b) Für welche a ist e3 ∈ U? Bestimmen Sie in diesen Fällen eine Darstellung von e3 als Linearkombination von v1, v2, v3.

Answer 1

a) Schreibe die Vektoren als Spalten in eine Matrix M ,

dann ist det(M)=a(a-1)(a+1).

Also 0 für a=0 oder a=1 oder a=-1.

In allen anderen Fällen ist der Rang gleich 3.

Das sit die dim von U.

Für die anderen Werte  ist schnell zu sehen :Rang = 2

b) Für a=0 gilt e3= 1*v2+(-1)*v1+0v3 also e3=U.

Für a=1 ist rang(M)=2 aber rang(M') = 3

wobei M' die um e3 erweiterte Matrix M ist, also e3∉U

Für a=-1 ebenso.

In allen anderen Fällen gilt e3∈U. Und

\(   e_3=\frac{-1}{a^2-1} v_1 +0v_2+ \frac{a^2}{a^2-1} v_3 \)