Ableiten von Winkelfunktionen?

Question

Aufgabe:

Ableiten von Winkelfunktionen?

Problem/Ansatz:

Hallo ich weiß es ist schon spät trotzdem hoffe ich dass ihr mir noch helfen könnt.

ich habe bald eine arbeit und kann nicht winkelfunktionen ableiten. deswegen habe ich gleich mehrere beispiele hier damit ich nicht immer einzeln eine frage stellen muss, hoffe das ist in ordnung.

Man soll die erste ableitung bestimmen:

f(x)= 3*sin x *cos x

Mein Lösung hier: 3* cos x * (-sin x) , weil ja sin zu cos wird und cos zu -sin

Richtige Lösung: 3*(cos² x- sin²x)

f(x)=sin²/cos x

Richtige Lösung: 2*sin x + (sin x)³/(cos x)²

f(x)= 3x * sin (x²)

Richtige Lösung: 3*sin(x²) + 6x² cos (x²)

f(x) \( \sqrt{cos (2x)} \)

Richtige Lösung: - sin(2x)/\( \sqrt{cos(2x)} \)

bitte sagt mir einfach die Lösungswege

Die Brüche konnte ich hier irgendwie nicht so gut hinmachen, sorry

Comments

Wir machen das in der Schule so:

Die 3 lassen wir zunächst weg (Faktorregel)

a) u= sinx , u' = cosx

v= cosx, v' = -sinx

Dann bauen wir das zusammen zu: u'*v+u*v' und setzen die 3 davor:

f '(x) = 3*(cosx*cosx+ sinx*(-sinx)) = 3*(cos^2x-sin^2x)

b) Hier verwenden wir die Quotientenegel:

f *(x) = (u'*v -u*v')/ v^2

c) Das schreiben wir um in: √cos(2x) = (cos(2x))^(1/2)

Answer 1

$$f(x) =  \sqrt{\cos (2x)} $$Das ist ein schöner Fall für die Kettenregel. Wir erhalten $$f'(x) = \dfrac{1}{2\cdot\sqrt{\cos(2x)}} \cdot \left(-\sin(2x)\right)\cdot 2 = -\dfrac{\sin(2x)}{\sqrt{\cos(2x)}}, $$wenn wir von außen nach innen ableiten. Im Ergebnis ist die Reihenfolge aber egal.

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vielen dank für deine antwort

Answer 2

Deine Lösung stimmt leider nicht und so einfach ist es hier auch nicht. Du brauchst hier verschiedene Ableitungsregeln:

Produktregel, Kettenregel, Quotientenregel.

Prüfen kannst du die Rechnungen selbst auf https://www.ableitungsrechner.net/.

Bei konkreten Fragen oder Problemen kannst du dich aber nochmals melden.

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ich habe den ableitungsrechner schon probiert, leider kommt da irgendwie nicht die richtige lösung raus wenn ich es eingebe

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1. Gibst du die Funktionen richtig ein?

2. Wie sieht denn die Lösung aus und die Lösung des Rechners? Beachte, dass auch Musterlösungen von Büchern, anderen Personen, ... falsch sein können. Beachte außerdem, dass man mathematische Terme unterschiedlich darstellen kann, zum Beispiel ist \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), auch wenn das auf dem ersten Blick anders aussieht.

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ja schon, manchmal ist seine lösung aber einfach falsch.

bei vielen problemen ist er nützlich aber ich habe den eindruck mit komplexeren ausdrücken tut er sich schwer

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Dann sag uns mal genau, was Du eingegeben hast (String mit cut-and-paste hierhin kopieren) und ebenso das "falsche Ergebnis".

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Auch wenn es bei Algorithmen zur Lösung mathematischer Aufgaben immer mal wieder zu Fehlern oder unerwarteten Ergebnissen kommen kann, sind sie im Großen und Ganzen doch recht brauchbar. Deine Funktionen sind jetzt allerdings nicht so komplex, dass der Algorithmus das nicht hinbekommt.

Daher tippe ich hier auf einen typischen Fehler 40, also einen Fehler des Anwenders und nicht der Anwendung.

Answer 3

f(x) = 3·sin(x) * cos(x)

Benutze die Produktregel

f'(x) = [3·sin(x)]' * cos(x) + 3·sin(x) * [cos(x)]'

f'(x) = 3·cos(x) * cos(x) + 3·sin(x) * (-sin(x))

f'(x) = 3·cos²(x) - 3·sin²(x)

Wenn man jetzt noch Langeweile hat, kann man die 3 ausklammern und die Winkelformel für doppelte Winkel nutzen

f'(x) = 3·(cos²(x) - sin²(x))

f'(x) = 3·cos(2·x)

Man könnte auch zunächst die Funktion umschreiben

f(x) = 3·sin(x) * cos(x) = 3/2·sin(2·x)

Dann kann man die Funktion einfach mit der Kettenregel ableiten.

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danke für deine antwort!

Answer 4

\(f(x)=\frac{\sin^{2}(x)}{\cos(x)}\)

Ableitung mit der Quotientenregel:

\( [\frac{Z}{N}]'=\frac{Z'N-ZN'}{N^2} \)

\(Z=\sin^{2}(x)\)→Äußere Ableitung mal innere Ableitung:

 \(Z'=2\sin(x)\cos(x)\)

 \(N=\cos(x)\)   →   \(N'=-\sin(x)\)

\(f'(x)=\frac{2\sin(x)\cdot \cos(x)\cdot\cos(x)-\sin^{2}(x)\cdot (-\sin(x)}{\cos^2(x)}\)

\(f'(x)=\frac{2\sin(x)\cdot \cos^2(x)+\sin^{3}(x)}{\cos^2(x)}=2\sin(x)+\frac{\sin^3(x)}{\cos^2(x)}\)

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danke für deine hilfe