Nullstellen von Winkelfunktionen (sin, cos)

Question

Hallo miteinander,

ich hätte mal eine Frage zur Nullstellenberechnung bei trigonometrischen Funktionen.

Zwar weiß ich (von anderen Seiten oder aus Videos), dass man bei sinus k*π und beim Cosinus \( \frac{π}{2} \) +k*π benutzt, aber irgendwie komme ich bei meinen Berechnungen nicht auf das richtige Ergebnis.

Konkret geht es um die Funktion:

f(x) = -4*cos(2x)+2, im Intervall [0, 4π]

Wie berechne ich da die Nullstellen?

Und wie würde es aussehen, wenn die Funktion

f(x) = -4*sin(2x)+2

lauten würde.

Lieben Gruß.

Answer 1

f(x) = -4*cos(2x)+2=0

   cos(2x)=0,5

     2x=60

x₁ = 30° = 1/6 pi  x₃= 13/6 pi

 x₂= 330° = -1/6 pi = 11/6 pi x₄= 23/6pi

2) x₁=15°   =1/12 pi   x₃ = 25/12 pi

  x₂= 165 °  = 11/12 pi x₄ = 35/12 pi

Gut zu wissen, sin(30°) = cos(60°) = 0,5

sin ( x) = sin (180 -x)   cos (x) = cos(-x)

Comments

Das kann ich leider nicht ganz nachvollziehen. Wieso ist 2x=60°?

Dass x₁ dann 30° sein muss verstehe ich wieder, aber wo kommen dann die 330° für x₂  her?

Wie ist denn da der Rechenweg? Die erste Nullstelle bekomme ich immer hin, aber die weiteren... in welchem Abstand sind die dann?

VG

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Ich habe die Antwort ergänzt.

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Wenn du es nicht glaubst, zeichne ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 1 , dann zeichne die Höhe ein und überlege, wo welcher Winkel ist und was das für den Sinus und Kosinus bedeutet.

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Hallo Hogar,

mit glauben oder nicht hat das jetzt irgendwie nichts zu tun.

Ich stehe nur gerade wohl auf dem Schlauch und verstehe deinen Rechenweg leider nicht. Sorry dafür

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Du musst noch 4 weitere Lösungen finden, in dem du jeweils 360° addierst. Dann müssen die Inkel noch in Bogenmass umgerechnet werden also durch 180  mal pi

Das mit dem Bild klappt zur Zeit leider

nicht.

Nochmal, du zeichnest ein gleichzeitiges Dreieck, alle Seiten a=1

Nun zeichne die Höhe ein. Du hast dann die Winkel 30° 60° und 90°

Höhe halbiert die Seite a

1/2 = 0,5 = sin(30°) = cos (60°)

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Okay, dass sin(30°)=cos(60°) ist, hab ich verstanden.

Dass ich dann (ich bleib mal im Bogenmaß) \( \frac{π}{6} \) +2π rechnen muss, leuchtet ir auch ein, aber dazwischen liegt ja noch eine weitere Nullstelle. Bei \( \frac{5π}{6} \)

Wie komme ich denn rechnerisch an diese dran?

VG

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Bitte gib mir einen Moment, ich ergänze die Antwort.

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Alles klar, habe meinen Kommentar grad nochmal angepasst, es sind /6 und nicht /3 ;)

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habe unechte Brüche geschrieben, wenn du lieber gemischte Zahlen hast, bitte noch einmal umrechnen.

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Ne, so ist schon gut, Dankeschön.

Dann habe ich mich mit \( \frac{5π}{6} \) vertan? War dann (offenbar) doch keine Nullstelle beim Cosinus?