Der Betrag von x ist immer nicht-negativ

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die umgekehrte Dreiecksungleichung
\( |a|-|b| \leq|a-b| \)

Zeigen Sie zudem, dass aus der Dreiecksungleichung und \( |x|=0 \Rightarrow x=0 \) folgt, dass \( |x| \geq 0 \).

Problem/Ansatz:

Die umgekehrte Deiecksungleichung habe ich gezeigt, aber ich hänge beim 2. Teil. (die umgekehrte Dreiecksungleichung ist in der Aufgabe sogar falsch geschrieben )

Der folgt m.E. direkt aus der Definition vom Betrag. Aber man soll es ja anders zeigen, ich weiß nur nicht wie.

Ich habe mit der Dreiecksungleichung angefangen und verschiedene Kombinationen eingesetzt. Wenn ich Betrag von x gleich Betrag von (-x) verwenden darf, klappt es. Das ist natürlich richtig, muß aber wohl auch erst bewiesen werden.

Irgendwie hänge ich hier…

Comments

Der folgt m.E. direkt aus der Definition vom Betrag.

Gib diese Definition an.

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Text erkannt:

Der Betrag einer reellen Zahl \( x \) ist definiert als
\( |x|=\left\{\begin{aligned} x & \text { falls } x \geq 0 \\ -x & \text { falls } x<0 \end{aligned}\right. \)

Answer 1

Alleine aus den beiden angegebenen Eigenschaften kann nicht gefolgert werden, dass der Betrag allgemein nichtnegativ ist:

"Definiere" |x|:=x. Dann erfüllt dies die beiden Voraussetzungen, die Schlussfolgerung ist falsch.

Comments

Aber ich kann doch nicht einfach den Betrag umdefinieren??

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siehe nächsten Kommentar

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Du hast ja schon richtig gesagt, dass die Eigenschaft |x|>=0 direkt aus der Definition folgt. Also verstehe ich den Aufgabentext als Denksportaufgabe: Wenn eine reelle Funktion f die Dreiecksungleichung erfüllt und die Folgerung f(x)=0 => x=0, dann gilt auch allgemein f(x)>=0. Das ist aber allgemein falsch, wie das Beispiel f(x)=x zeigt.

Answer 2

Zeigen Sie zudem, dass aus der Dreiecksungleichung und \( |x|=0 \Rightarrow x=0 \) folgt, dass \( |x| \geq 0 \).

Für \(x \geq 0\) ist laut deiner Definition des Betrages auch \(|x| \geq 0\), weil dann ja \(|x| = x\) ist.

Für \(x < 0\) gibt die Definition das aber nicht direkt her. Könnte es nicht sein, dass sowohl \(x < 0\) als auch \(-x < 0\) ist? Du musst beweisen, dass das eben nicht sein kann.

Comments

Das hat doch nichts mit dem Aufgabentext zu tun?

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Nun, ich sagte ja eingangs:

0 = Ι0Ι = Ιx+(-x)l ≤ lxl +l-xl = 2lxl ⇒ 0 ≤ lxl

und damit die Behauptung, falls ich l-xl = lxl verwenden darf.

Auch das ist offensichtlich, muß aber wohl erst noch bewiesen werden.

PS. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass la*bl = lal * lbl gilt,

Das wende ich  auf b= -1 an und betrachte somit lxl = l-xl als bewiesen ;-)

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Folgt aus -x < 0 nicht x > 0 durch Multiplikation mit -1.

Und das würde doch x < 0 widersprechen.

Aber die Frage fordert doch außerdem, dass die Dreiecksungleichung für den Nachweis zu benutzen ist, was doch bereits erkannt worden ist.

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Für \(x < 0 \) ist \(|x| = -x\) laut Definition. Wäre also \(x < 0 \) und \(-x < 0\), dann wäre die zu beweisende Behauptung falsch.

Da \(x \geq 0 \implies |x|\geq 0\) trivial ist, genügt es somit, \(x < 0 \implies -x \not< 0\) zu zeigen.

Meine Antwort hat also mit dem Aufgabentext zu tun.

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Meine Antwort hat also mit dem Aufgabentext zu tun.

Der Aufgabentext fordert, dass die Dreiecksungleichung und die zusätzlich angegebene Bedingung genutzt werden sollen.

Von der Verwendung der Definition steht dort nichts.

Das ist eben das Problem, was offensichtlich der Fragesteller schon verstanden hat.

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Die Aufgabe war, es ohne die Def. zu zeigen.

Und nur aus den zwei genannten Eigenschaften. Daher darf \(|a\cdot b|=|a|\cdot |b|\) auch nicht benutzt werden. Und dann ist die Aussage falsch. Da kann man noch weiter diskutieren, ändert aber nichts daran.

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falls ich l-xl = lxl verwenden darf.

Das darfst du verwenden, wenn es bereits bewiesen wurde.

Das wende ich auf b= -1 an und betrachte somit lxl = l-xl als bewiesen

Habt ihr denn auch schon -1·x = -x bewiesen?

Folgt aus -x < 0 nicht x > 0 durch Multiplikation mit -1.

Natürlich. Aber in dieser Aufgabe geht es offensichtlich darum, aus den Axiomen für einen angeordneten Körper die Regeln herzuleiten, an die man sich im Laufe der Schullaufbahn gewöhnt, aber nicht bewiesen hat. Und da muss man sehr vorsichtig sein, ob man nicht etwas unbewiesenes verwendet.

Die Aufgabe war, es ohne die Def. zu zeigen.

Nein, das war nicht die Aufgabe. Ohne den Betrag zu definieren kann man überhaupt keine Aussage über den Betrag beweisen.

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OK, irgendwie also eine merkwürdige Aufgabe.

Zuerst wird ja die umgekehrte Dreiecksungleichung abgeleitet. Dabei wird z.B.

lal ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b

verwandt, was eine Aussage aus dem Satz der Vorlesung ist. Im selben Satz wird auch

I a*bl = lal * lbl

gezeigt. Ich denke also, dass ich es verwenden darf (-1*x = -x wurde früher gezeigt).

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Nein, das war nicht die Aufgabe. Ohne den Betrag zu definieren kann man überhaupt keine Aussage über den Betrag beweisen.

Stimmt nicht. Es ist ein Standardvorgehen in der Mathematik, Eigenschaften einer Funktion festzulegen und daraus andere Eigenschaften herzuleiten.

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Ich denke also, dass ich es verwenden darf (-1*x = -x wurde früher gezeigt).

Es ist unklar, was Du verwenden darfst.

Entweder ist die Aufgabe unüberlegt formuliert oder Du hast uns nicht die vollständige Aufgabenstellung mitgeteilt. Im letzten Fall hol das mal nach, am besten als Foto.

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Die Aufgabe ist exakt wie oben eingestellt. Für das unüberlegte spricht, dass die umgekehrte Dreiecksungleichung nicht komplett dasteht, was aber für den 2. Teil nicht relevant ist.

Text erkannt:

2. (4 Punkte) Zeigen Sie die umgekehrte Dreiecksungleichung
\( |a|-|b| \leq|a-b| \)

Zeigen Sie zudem, dass aus der Dreiecksungleichung und \( |x|=0 \Rightarrow x=0 \) folgt, dass \( |x| \geq 0 \).

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Dadurch, dass man Eigenschaften eines Objektes festlegt, definiert man es.

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Dann ist die Lage mMn klar: Die Aufgabe ist falsch, d.h. nur aus diesen beiden Eigenschaften ist das nicht beweisbar, siehe die andere Antwort (von mathhilf).

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Dadurch, dass man Eigenschaften eines Objektes festlegt, definiert man es.

Stimmt so auch nicht. Stichwort "wohldefiniert".

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Stimmt so auch nicht.

Stimmt wohl.

|x+(-x)| ≤ |x| + |-x|

Hier hast du die Dreiecksungleichung verwendet, wie in der Aufgabenstellung gefordert.

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Hier hast du die Dreiecksungleichung verwendet, wie in der Aufgabenstellung gefordert.

Ja und? Das weiß der FS, es geht um was anderes. Lies den Rest der Zeile und seines Kommentars.

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Vielen Dank an alle!

Die Diskussion hat mir geholfen

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"Glaubst" Du es denn jetzt, nachdem es Dir in dem anderen Forum auch so gesagt worden ist?

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Wieder jemand, der zweigleisig fährt? Super. :)