Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Stetige Zufallsvariable

Question

Aufgabe:

Es sei \( X \) eine stetige Zufallsvariable mit Wertebereich \( \mathbb{W}=[0,1] \) und Dichte \( f(x)= \) \( \frac{3}{4}\left(x^{2}+1\right) \) für \( x \in \mathbb{W} \). Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

\( \mathbb{P}(X>1 / 2)=0.59 \).

\( \mathbb{P}(X \leq 0)=1 / 2 \).

\( \mathbb{P}(X \leq 1 / 2)=0.70 \).

\( \mathbb{P}(X=1 / 3)=0 \)

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich das erste? Muss ich im Integral die 1/2 miteinbeziehen oder nicht? Also ist das Integral 1/2 bis 1? Oder 1 bis 1?

Answer 1

Also ist das Integral 1/2 bis 1?

Ja.

Oder 1 bis 1?

Nein. Denn das wäre = 0.

Comments

Danke sehr :)

Answer 2

Natürlich muss man beim ersten die 1/2 als untere Grenze benutzen! Es ergibt sich dann: $$\int \limits_{1/2}^{1}{\dfrac{3}{4}\cdot\left(x^2+1\right)}\textrm{ d}x = \dfrac{19}{32}=0.59375\textrm{ (exakt!)}$$ Daher ist in meinen Augen das erste falsch. :-)

Comments

Danke, dachte ich mir auch! :)

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Ich würde Rundung vermuten und es als richtig ansehen.

Für falsch ist mir der Wert viel zu nahe am exakten (Vergleich auch die anderen Aufgaben).

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Ah, das erste ist eigentlich richtig, es wurde auf 0.59 gerundet, hab vergessen das zu erwähnen. :)

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Aha, dann muss die zu beurteilende Aussage also $$\mathbb{P}(X>1 / 2)\approx 0.59 $$ lauten.

Answer 3

Die erste und vierte Aussage sind wahr, die zweite und dritte Aussage sind falsch.

Answer 4

1. \( \mathbb{P}(X>1 / 2)=0.59- \) wahr

2. \( \mathbb{P}(X \leq 0)=1 / 2- \) falsch (da \( X \) nur Werte in \( [0,1] \) annimmt, ist \( \mathbb{P}(X \leq 0)=0 \) )

3. \( \mathbb{P}(X \leq 1 / 2)=0.70 \) - falsch (korrekt wäre \( \mathbb{P}(X \leq 1 / 2)=1-\mathbb{P}(X>1 / 2) \approx 1-0.59= \) 0.41)

4. \( \mathbb{P}(X=1 / 3)=0- \) wahr (bei stetigen Zufallsvariablen ist die Wahrscheinlichkeit, einen exakten Wert anzunehmen, immer 0)