Sinussatz, gesuchter Winkel größer als 90°, warum liefert mein TR falschen Winkel?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein allgemeines Dreieck mit folgenden Maßen: c = 10 cm, a = 14 cm, γ = 42 °, zu berechnen ist der Winkel α.

Problem/Ansatz:

Ich habe den Sinussatz angewendet:

\( \frac{14}{sin(α)} \)=\( \frac{10}{sin(42°)} \)

ergibt: sin(α) = \( \frac{10}{14} \) ·sin(42°) ≈ 0,93678

Mein TR berechnet aber 69,52 ° für den Winkel α. Das ist aber ein stumpfer Winkel ca. 110° lt. Skizze

Warum macht das mein TR? Das ist ja tückisch! Nehme wie sonst üblich die Taste sin ^-1.

Viele Grüße und vorab danke!

Tino

Comments

Die drei gegebenen Werte entsprechen keinem Kongruenzsatz, da der Winkel, der der kürzeren Seite gegenüber liegt gegeben ist. Daher kann es zwei Lösungen geben.

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Es gibt zwei Lösungen:

(überschnitten mit Montys Antwort)

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Vielen Dank allen, die geholfen haben, hab es verstanden! Mit freundlichen Grüße Tino

Answer 1

Rechne doch mal 180°-69,52°.

Es gilt sin 70°=sin 110°, genau so wie sin 5°=sin 175° oder sin 89° = sin 91°.

Der Rechner kann dir auf die Frage "Von welchem Winkel beträgt der Sinus 0,93678 ?" nicht mehrere Antworten geben und liefert dir deshalb immer der spitzen Winkel.

Answer 2

Das Dreieck ist nach dem Kongruenzsatz Ssw nicht kongruent, weil der Winkel der kleineren Seite gegenüberliegt.

Es gibt daher keine eindeutige Lösung.

Da für den Sinus gilt

SIN(x) = SIN(180° - x) kannst du den Stumpfen Winkel erhalten in dem du den Spitzen Winkel von 180° subtrahierst.

α1 = 69.52°

α2 = 180° - 69.52° = 110.48°

Skizze

Comments

Das Dreieck ist .... nicht kongruent,

Bräuchte es zur Kongruenz nicht derer zwei?

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Bräuchte es zur Kongruenz nicht derer zwei?

Die zwei Dreiecke, die entstehen können, sind nicht kongruent.

Answer 3

Aloha :)

Schau dir mal die Sinus-Funktion an:

~plot~ sin(x/180*pi) ; [[-400|400|-1,2|1,2]] ; x=-90 ; x=90 ~plot~

Für einen festen Funktionswert auf der y-Achse gibt es unendlich viele Argumente auf der x-Achse, bei denen die Sinus-Funktion diesen Funktionswert annimmt. Die \(\arcsin\)-Funktion liefert dir aber nur den einen Winkel zwischen \(-90^\circ\) und \(90^\circ\) zurück.

Wenn dir die \(\arcsin\)-Funktion den Winkel \(\alpha_0\) liefert, ist:$$\pink{\alpha_1=180^\circ-\alpha_0}$$ein weiterer möglicher Winkel.

Du kannst auch zu \(\alpha_0\) oder \(\alpha_1\) beliebig oft \(360^\circ\) addieren oder subtrahieren, um noch mehr Winkel zu erhalten. Aber für die meisten geometrischen Berechnungen reicht es, wenn du die pinke Formel im Gedächtnis behälst.