Integral bestimmen ∫e^{√x} dx

Question

Hallo.

Ich wollte diese Aufgabe mit der Substitution lösen, da ich für die Substitution lernen will.

∫ e^√x dx

z = √x

1dz = 2/3x^3/2 dx => dx = ....  1/2/3x??? Nein, oder? ^^

 

Wenn ich das auf Wolframalpha oder auf andere Integrationsrechner eingebe, kommt da was ganz schwieriges raus....

 

Diese Aufgabe ist auch wirklich schwer

Answer 1

Deine Substitution \(z=\sqrt{x}\) ist richtig.

Wo kommst du denn nicht weiter? Bestimme jetzt erstmal \(\frac{dz}{dx}\).

Comments

genau das kann ich nicht :(

ich hab zwar paar Ideen, aber ich denke das ist falsch:(

dx= 1/2/3x??? wie bestimme ich das überhaupt??

ich meine wäre das so

1dz = 3dx => dx= 1/3dz bei so einer ist das ja einfach, aber beim obigen verstehe ich das nicht:(

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\(\frac{dz}{dx}\) heißt, dass du z nach x ableiten musst. Und was kommt raus, wenn du \(\sqrt{x}\) ableitest?

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√x abgeleitet ist 2/3x^3/2 und jetzt? :)

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Nein, ist es nicht. Du hast integriert, nicht abgeleitet.

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AH stimmt ^^

ehm abgeleitet ist es glaube ich  1/2√x

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Ja (um den Nenner solltest du aber Klammern setzen).

Jetzt ist also \(\frac{dz}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2z}\).

Jetzt kannst du in dem Integral substituieren.

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Das heißt also so:

 

∫ e^√x dx

z = √x

1dz = 2/3x^3/2 dx => dx = 1/2zdz ??

1/2z∫e^z  ...ungefähr so??

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Wieso schreibst du denn jetzt wieder \(\frac{2}{3}x^{3/2}\)? Das war doch falsch.

Richtig ist: \(dx=2z dz\).

Kommst du jetzt weiter?

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Ah mein Fehler ich habs von oben kopiert, weil ich so faul war alles nochmal zu tippen ^^

ehm also so:

∫e^√x

2∫e^z

2e^√x*(√x-1) ich verstehe nicht ganz wie man auf *(√x-1) 

und noch eine Frage wie bist du auf dx= 2dz gekommen??? :(diese aufgabe ist wirklich schwer:(

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Wir hatten doch \(\frac{dz}{dx}=\frac{1}{2z}\). Das jetzt nach dx umstellen, dann kommst du auf \(dx=2zdz\).

Du hast nicht richtig substituiert: Für \(\sqrt{x}\) musst du z einsetzen (das hast du auch gemacht), aber da fehlt noch ein dx. Und das wird durch 2z dz ersetzt.

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Ok also

∫e^√x

z  =  √x

1dz = 1/(2√x) = 1/2z => dx= 2zdz

2zdz∫e^√x

= 2e^√xdx( wooahh nein ich kann das nicht

ich lass diese aufgabe ... zu schwer

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So schwer ist die gar nicht. ;-)

Du musst das dx einfach noch dahintersetzen: \(\int\! e^{\sqrt{x}} \, dx=\int \! e^z\cdot 2z \, dz\)

Und jetzt partielle Integration (eventuell vorher noch die 2 vor das Integral ziehen).

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nein nein ich lass die Aufgabe ...ich komme langsam durcheinander:)

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Nein, muss man nicht.

Du willst doch \(\int \! e^z\cdot 2z \, dz\) berechnen. Du hast aber in der vorletzten Zeile \(\int \! e^z\cdot 2=... \, dz\) geschrieben.

Wähle \(u=2z, v'=e^z\).

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Formel der Partiellen Integration: ∫uv'dz=[uv]-∫u'vdz

∫2z*e^zdz=[2z*e^z]-∫2*e^z

             =2z*e^z-2e^z???

 

das ist falsch oder??? :(

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Wieso sollte das falsch sein? Alles richtig. :-)

Jetzt noch rücksubstituieren, und dann bist du fertig.

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Echt jetzt? Cool, jetzt glaube ich wieder an mich.

Rücksubstituieren heißt doch zurückersetzen oder? also z wieder normal durch x?

Ich frag lieber, bevor ich etwas falsch mache.

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Nicht durch x ersetzen, sondern durch \(\sqrt{x}\).

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oh ahso:)

aber meine Partielle Integration ist doch nicht richtig oder? Bei Bepprich kommt was anderes raus als bei mir?? :)

aber naja ok also:

2z*e^z-2e^z

2e^√x-2e^√x

aber was ist jetzt mit dem einen z von der 2??

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Das wird natürlich auch rücksubstuiert. Wieso sollte das auch nicht so sein? Einfach für jedes z \(\sqrt{x}\) einsetzen.

Und wenn du dann noch \(2e^{\sqrt{x}}\) ausklammerst, kommst du auf das Gleiche, was Bepprich hat.

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Das habe ich ja gemacht:) also für jedes z √x einsetzen:)

2z*e^z-2e^z???

2e^√x-2e^√x

2e^√x*(√x-1)

stimmt:)

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Du musst doch aber auch für das z direkt nach der 2 \(\sqrt{x}\) einsetzen. Das hast du einfach unterschlagen.

Oder ist das wieder nur von oben kopiert? ;-)

Denn in der nächsten Zeile (da, wo du ausgeklammert hast), steht dann das Richtige.

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Ah stimmt das habe ich übersehen:) (Nein diesmal habe ichs nicht kopiert :) haha)

also nochmal:

2z*e^z-2e^z

2(√x)*e^√x-2e^√x = 2e^√x*(√x-1)

so jetzt? :)

 

das war aber für mich schon schwer:)

aber Danke für deine Gedult :))

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Ja, jetzt ist es richtig.

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Glückwunsch und gleich eine ähnliche Aufgabe nach einer kreativen Pause üben .-)

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Danke Bepprich:)

Ja, jetzt versuch ich mal deine Aufgabe, also die du mir gegeben hast :) ^^

mal sehen ob das stimmt:)

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Um Missverständnissen vorzubeugen: Bepprich meinte in seiner Aufgabe \(\int \! 2x\cdot  e^{x^2} \, dx\) (das wird unten nicht richtig angezeigt).

Answer 2

ja Ansatz kann man so machen

u = √x

dx = 2*√x du

∫ 2*u*e^u *du

Man könnte es nun mit partieller Integration lösen:

f(u) = u und g'(u) = e^u

f'(u) = 1 und g(u) = e^u

∫ 2*u*e^u *du = 2*(u*e^u  - ∫ 1*e^u *du) = 2*(u*e^u  - e^u) = 2*e^u*(u -1)

Rücksubstitution -> 2*e^√x*(√x - 1)

Comments

Wow genau das kommt auch als Ergebnis beim Integrationsrechner raus ^^

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Eigentlich rechnet Emre die Aufgaben doch, um etwas zu lernen. Was hat er jetzt davon, wenn du ihm die komplette Lösung hinpinselst? Richtig: Gar nichts!. Sowas lernt man nun mal nicht, wenn man immer nur komplette Lösungen kriegt, man muss es selbst mal rechnen.

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Da muss ich jetzt Nik recht geben:)

ich hatte auch mal so abgemacht, dass ich nur Tipps möchte, wie ich zur Lösung kommen kann...aber naja egal trotzdem vielen Dank :)

Ich glaube du bist neu hier? ^^

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sorry, wusste ich nicht, dass dies hier stufenweise erfolgt. Wenn ich eine Antwort erstelle, sehe ich nicht die einzelnen Kommentare, die beim Schreiben der Antwort auflaufen.

Man lernt aber auch, wenn man unbekannte Aufgaben zunächst vorgerechnet bekommt und dann eine ähnliche Aufgabe selber löst.

Er könnte sich an dieser Aufgabe versuchen ∫2x*e^x2dx .-)

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Kein Problem:)

Jetzt weißt dus ja :) ^^

PS: Ich bin erst in der 10.Klasse (Realschule) also nicht denken, dass ich schon der 11 oder 12 Klasse bin ^^

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"sorry, wusste ich nicht, dass dies hier stufenweise erfolgt."

Tut es meistens  (leider) auch nicht (jedenfalls nicht hier in diesem Forum). Da kommen oft einfach nur komplette Lösungen. Ich bezweifle, dass der Fragesteller das dann immer verstanden hat, aber solange sie hier ihre Hausaufgaben gemacht kriegen, ist das vielen auch egal. Und wenn sie kurz danach eine ähnliche Aufgabe kriegen, dann stehen sie wieder vor dem gleichen Problem...

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ja und ich werde es zukünftig beherzigen .-)

10. Klasse und sich partielle Integration aneignen, Respekt !

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Naja Partielle Integration kann ich eigentlich (kommt meistens auf die Aufgabe drauf an) und lineare Integration kann ich eigentlich auch (kommt auch auf die Aufgabe drauf an) und ableiten mit den nornalen Ableitungsregeln kann ich auch:)

aber diese aufgabe mit Substitution kann ich noooch nicht :( (deshalb übe ich auch schon seit paar Wochen für die Substitution) :)