DGL Laplace Transformation mit AWP

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Laplace-Transformation der Differentialgleichung:

\(x'' + 4x = \cos(2t)\)

mit den Anfangsbedingungen:

\(x(0) = 0, \quad x'(0) = 1\)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen diese Aufgabe der Laplace transformation zu lösen? Weil irgendwie kriege ich es nicht hin mit den AWP.

Danke im voraus

Comments

Du hast doch im Oktober bei einem ähnlichen Beispiel die einzelnen Schritte durchgeführt. Mache es einfach fast genauso.

Answer 1

Hallo,

Aus dem Differentiationssatz folgt:

x= F(s) , Du kannst statt F(s) natürlich auch X(s) schreiben, ist Bezeichnungssache wie in Vorlesung gehabt .

x'= -x(0) + s F(s)

x'' = -s x(0) -x'(0) + \( s^{2} \)  F(s)

->setzte das in die DGL ein und stelle das Ganze nach F(s) um.

-1 +\( s^{2} \)  F(s) +4 F(s) =LT {cos(2t}

-1 +\( s^{2} \)  F(s) +4 F(s) = \( \frac{s}{s^{2}+4} \) ->LT aus Tabelle

Führe dann eine Partialbruchzerlegung aus und bilde x(t) (Rücktransformation)  mit Hilfe von Tabellen.

PS: in diesem speziellen Fall brauchst Du keine Partialbruchzerlegung ,

du kannst direkt aus einer Laplace Tabelle rücktransformieren.

Zum Vergleich:

F(s)= \( \frac{s}{(s^2 +4)^{2}} \) +\( \frac{1}{(s^2+4)} \)

dann noch mit der Tabelle zurücktransformieren.

\( x(t)=\frac{1}{2} \sin (2 t)+\frac{t \sin (2 t)}{4} \) , es kann noch etwas vereinfacht werden.

Comments

Was bedeutet/ meinst Du mit x=F(s)?

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Also es sollte doch wohl heißen: F=LT(x) und im Folgenden für die Ableitungen analog.