Grenzrate Substitution anhand von Funktion

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Aufgabe:

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Gegeben ist folgende Nutzenfunktion:
\( U\left(x_{1}, x_{2}\right)=2 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \)

Wie groß sind die beiden Grenznutzen?
\( \delta U / \delta x_{1}=2 x_{2} ; \delta U / \delta x_{2}=2 x_{1} \)

Wie groß ist die GRS?
GRS: \( \frac{2 x_{2}}{2 x_{1}}=\frac{x_{2}}{x_{1}} \);
Budgetgerade: \( 60=x_{1}+2 x_{2} \)
Wie lautet die Funktion der Budgetgeraden in einem \( x_{2} / x_{1} \)-Diagramm=
\( x_{2}=30-\frac{1}{2} x_{1} \)

Bei welchem Wert von \( x_{1} \) liegt das Optimum?

Text erkannt:

2.2.10 Rechenbeispiel

Bedingung: Steigung der BG = GRS. Also:
\( \begin{array}{l} \frac{1}{2}=\frac{x_{2}}{x_{1}}=>x_{1}=2 \cdot x_{2}-\text { eingesetzt in Budgetgerade: } \\ 60=x_{1}+2 x_{2} \text { mit }_{1}=2 x_{2}=>60=2 x_{2}+2 x_{2}=4 x_{2}=>x_{2}=15 \Rightarrow x_{1}=30 ; \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Problem: Also GRS ist dann immer erst ableiten und dann nochmal hinschreiben. beispiel Grenzrae Subsitution Rechnung wäre super? Also um es zu verstehen. weil lösung hier sit richtig. ich verstehe nur nicht wie man GRS berechnet ?

1. **Budgetgerade umstellen**:
\[
60 = x_1 + 2x_2 \implies x_2 = 30 - 0.5x_1
\]
Die Steigung der Budgetgeraden ist \(-0.5\).

2. **GRS aufstellen**:
\[
GRS = \frac{x_2}{x_1}
\]

3. **Optimum Bedingung**:
\[
-0.5 = -\frac{x_2}{x_1} \implies \frac{x_2}{x_1} = \frac{1}{2} \implies x_2 = \frac{1}{2}x_1
\]

4. **In die Budgetgerade einsetzen**:
\[
60 = 2x_2 + 2x_2 \implies 60 = 4x_2 \implies x_2 = 15 \quad \text{und} \quad x_1 = 30
\]

**Ergebnis**:
- \(x_1 = 30\)
- \(x_2 = 15\)