Satz von Gauß:
Ein beschränkter Körper \( K(\alpha) \) im \( \mathbb{R}^3 \) sei für beliebiges \( \alpha > 0 \) berandet durch die Kreisscheibe
\(S = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 \leq 1, z = 0 \right\}\)
und den Graphen
\(G(\alpha) = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 \leq 1, z = 1 - (x^2 + y^2)^\alpha \right\}\)
der Funktion
\(f_\alpha(x,y) = 1 - (x^2 + y^2)^\alpha\)
über der Kreisscheibe \( S \).
Bestimmen Sie zum Vektorfeld
\(\vec{v}(x,y,z) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)
von innen nach außen:
(a) den Fluss
\(\iint_S \vec{v} \cdot d\vec{O}\)
durch die Kreisscheibe \( S \),
(b) den Fluss \(\iint_{G(\alpha)} \vec{v} \cdot d\vec{O}\)
durch den Graphen \( G(\alpha) \),
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Ich hatte vor, ein paar alte Übungsaufgaben durchzugehen und habe bemerkt das zu dieser Aufgabe mein Ergebnis als falsch angekreuzt war. Allerdings haben wir in den Übungen nie darüber gesprochen, da wir nie wirklich dazu kamen.
Ich weiß allerdings nicht so wirklich, was ich da falsch gemacht habe. Ich weiß, dass ich irgendwo einen oder mehrere Fehler habe, aber ich finde die irgendwie nicht.
Hier mein Rechenweg:
(a) Fluss durch die Kreisscheibe \( S \)
\(\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)
\(d\vec{O} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \, dS, \quad dS = dA = dx \, dy\)
\(\iint_S \vec{v} \cdot d\vec{O} = \iint_S \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \, dA\)
\(= \iint_S -z \, dA\)
Da \( S \) in der \( xy \)-Ebene bei \( z = 0 \) liegt:
\(\iint_S 0 \, dA = 0\)
(b) Fluss durch den Graphen \( G(\alpha) \)
\(\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)
Normalenvektor:
\(d\vec{O} = \begin{pmatrix} -\frac{\partial f_\alpha}{\partial x} \\ -\frac{\partial f_\alpha}{\partial y} \\ 1 \end{pmatrix} dA\)
\(\frac{\partial f_\alpha}{\partial x} = -\alpha (x^2 + y^2)^{\alpha - 1} 2x\)
\(\frac{\partial f_\alpha}{\partial y} = -\alpha (x^2 + y^2)^{\alpha - 1} 2y\)
\(d\vec{O} = \begin{pmatrix} 2\alpha x (x^2 + y^2)^{\alpha - 1} \\ 2\alpha y (x^2 + y^2)^{\alpha - 1} \\ 1 \end{pmatrix} dA\)
Fluss:
\(\iint_{G(\alpha)} \vec{v} \cdot d\vec{O} = \iint_{G(\alpha)} \left[ x (2\alpha x (x^2 + y^2)^{\alpha - 1}) + y (2\alpha y (x^2 + y^2)^{\alpha - 1}) + z \cdot 1 \right] dA\)
\(= \iint_{G(\alpha)} \left[ 2\alpha (x^2 + y^2)^{\alpha} + (1 - (x^2 + y^2)^\alpha) \right] dA\)
\(= \iint_{G(\alpha)} (1 + \alpha (x^2 + y^2)^\alpha) dA\)
Polarkoordinaten mit \( x^2 + y^2 = r^2 \):
\(dA = r \, dr \, d\theta\)
\(\iint_{G(\alpha)} (1 + \alpha r^{2\alpha}) r \, dr \, d\theta\)
\(= \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (1 + \alpha r^{2\alpha}) r \, dr\)
\(= 2\pi \left[ \int_0^1 r \, dr + \alpha \int_0^1 r^{2\alpha + 1} \, dr \right]\)
\(= \pi + \frac{2\pi\alpha}{2\alpha + 2}\)
\(= \pi \left( 1 + \frac{\alpha}{\alpha + 1} \right)\)
Sieht ihr den Fehler bei Aufgabe a) und b)?
