Fluss - Halbkugel - Integral - Gauß

Question

Gegeben sei das Vektorfeld v

$$ v(x, y, z)=\left(\begin{array}{l} x \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) $$
und die Halbkugel
$$ H=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, z \geq 0\right\} $$
Berechnen Sie den durch die Kugeloberfläche \( \partial H \) nach außen dringenden Fluss
$$ \int \limits_{\partial H} v \cdot \overrightarrow{\mathrm{d} \vec{A}} $$
(a) auf direktem Weg,
(b) mit Hilfe des Satzes von Gauß.

Ich komme hier einfach nich weiter und habe leider keine Ahnung was ich hier machen soll. Kann mir jemand die Lösung verraten?

Comments

Hallo,

wie habt Ihr denn den Fluss bzw. das Flussintegral definiert?

Gruß

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Vom Duplikat:

Titel: Flussintegral. Durch die Kugeloberfläche nach außen fließende Fluss.

Stichworte: fluss,polarkoordinaten,rotationsvolumen,kugel

Aufgabe:

Flussintegral. Durch die Kugeloberfläche nach außen dringende Fluss.

Folgendes ist gegeben:

\( v(x,y,z) = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\( H=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, z \geq 0\right\} \)

\( \int \limits_{\partial H} v \cdot \overrightarrow{\mathrm{d} {A}} \)

Mit Hilfe des Satzes von Gauß.

Problem/Ansatz:

1: div (v) = 1

2: Volumenintegral Halbkugel = 2/3π

Ist folgendes richtig:

\(\int \limits_{\partial H} v \cdot \overrightarrow{\mathrm{d} {A}} = \int_{H} \! div(\vec v) \, dV = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1} \! 1 r^2sin(\theta) \, drd\theta d\phi \)

und das ergibt

= 2/3π

das ist in diesem Fall dasselbe wie das Volumen der Halbkugel. Da die div von v eben 1 war. oder was genau hab ich falsch gemacht?

mfg

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mit z>0 warum geht der Winkel  Theta von 0 bis pi ?

lul

Answer 1

Aloha :)

Da der Radius der Halbkugel \(H\) gleich \(1\) ist, wird ihre Obefläche durch den folgenden Vektor \(\vec r\) in Kugelkoordinaten abgetastet:$$\vec r=\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta\\\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad\;\quad\vartheta\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$Das Oberflächenelement \(d\vec f\) am Ort \(\vec r\) steht senkrecht auf den Differentialen \(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}d\varphi\) und \(\frac{\partial\vec r}{\partial\vartheta}d\vartheta\), sodass:$$d\vec f=\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}d\varphi\times\frac{\partial\vec r}{\partial\vartheta}d\vartheta=\begin{pmatrix}-\sin\varphi\sin\vartheta\\\cos\varphi\sin\vartheta\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\cos\varphi\cos\vartheta\\\sin\varphi\cos\vartheta\\-\sin\vartheta\end{pmatrix}\,d\varphi\,d\vartheta$$$$\phantom{d\vec f}=\begin{pmatrix}-\cos\varphi\sin^2\vartheta\\-\sin\varphi\sin^2\theta\\-\sin\vartheta\cos\vartheta\end{pmatrix}\,d\varphi\,d\vartheta=-\vec r\cdot\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta$$Wir sollen den "nach außen" dringenden Fluss berechnen, daher müssen wir darauf achten, dass das Obeflächenelement auch nach außen zeigt, daher wechseln wir das Vorzeichen von \(d\vec f\) und setzen:$$d\vec A=\vec r\cdot\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta$$Damit lautet der Fluss des Vektorfeldes \(\vec v\) durch die Halbkugel:

$$\Phi_K=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\sin\vartheta\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta\\\cos\vartheta\end{pmatrix}$$$$\phantom{Phi}=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\sin\vartheta\left(\cos^2\varphi\sin^2\vartheta+\cos\vartheta\right)$$$$\phantom{Phi}=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\cos^2\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\sin^3\vartheta+\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\sin\vartheta\cos\vartheta$$$$\phantom{Phi}=\pi\cdot\frac{2}{3}+2\pi\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{3}\pi$$Da du im anderen Aufgabenteil den Satz von Gauß anwenden solltest, brauchst du eine geschlossene Oberfläche, das heißt, wir müssen noch den Fluss des Vektorfeldes \(\vec v\) durch die untere Kreisfläche in der \(xy\)-Ebene addieren. Die Größe dieser Kreisfläche ist \(\pi\). Der nach außen weisende Normalenvektor ist \((0;0;-1)\). Damit erhalten wir als Beitrag der Grundfläche der Halbkugel zum Fluss:$$\Phi_G=\pi\begin{pmatrix}x\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}=-\pi$$Insgesamt ist als der aus der Halbkugel (mit Bodenfläche) dringende Fluss:$$\Phi_{\text{ges}}=\Phi_K+\Phi_G=\frac{2}{3}\pi$$

Comments

Das heißt du hast jetzt den AUfgabenteil a) berechnet?

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Genau, ich habe Teil (a) gemacht. Du hast ja geschrieben, dass du Gauß schon hast. Gauß kannst du sofort hinschreiben:

$$\Phi=\int\limits_V\operatorname{div}\begin{pmatrix}x\\0\\1\end{pmatrix}dV=1\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi\cdot1^3=\frac{2}{3}\pi$$Das \(\frac{1}{2}\) ist wegen Halbkugel.

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Vielen Dank!

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Hallo Tschakabumba,

ich habe diese Aufgabe nachgerechnet, bin aber leider ziemlich verwirrt.

Ich habe ebenfalls wie du das Kreuzprodukt der Parametrisierung gemacht und komme auf \( \begin{pmatrix} r^2sin^2Θcos phi \\ r^2sin^2Θ sin phi \\ r^2 sinΘ cosΘ\end{pmatrix} \).

Aber dann taucht bei dir danach ein mal r auf. Woher kommt das? Wenn ich den Betrag ausrechne komme ich auf r^2 sinΘ.

Ich dachte um die Oberfläche der Halbkugel auszurechnen geht man wie folgt vor:

\( \int \limits f(x)dO = \int\limits \int\limits f(Ψ(u,v)) * I Ψu x Ψv I du dv \)

Ich habe f(Ψ(u,v)) so wie du eingesetzt und das Kruezprodukt auch und habe das Skalarprodukt gebildet. Trotzdem hat es bei mir nicht geklappt. Könntest du mir bitte weiter helfen und sagen wo mein Denkfehler ist oder was ich falsch mache?

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Hier war ja die Rahmenbedingung \(r=1\) gegeben. Deswegen ist \(r^2=1\). Das Flächenelement ist dann:$$d\vec f=-\vec r\,\sin\vartheta d\varphi\,d\vartheta$$wobei \((-\vec r)\) einfach nur die Abkürzung für den Vektor mit den mit den Sinus- und Cosinus-Komponenten ist.