\(f_m(x) = \left(\sum \limits_{n=1}^{\text{m}} n^{x} * x^{n}\right)^2\) ist eine Verkettung
\(f(x) = g(h(x))\)
mit
\(g(h) = h^2\) also \(g'(h) = 2h\)
und
\(h(x) = \sum \limits_{n=1}^{\text{m}} n^{x} * x^{n}\).
Laut Kettenregel ist
\(f'(x) = g'(h(x))\cdot h'(x)\)
und somit
\(f'(x) = 2\left(\sum \limits_{n=1}^{\text{m}} n^{x} * x^{n}\right)\cdot h'(x)\).
Die Ableitung von \(h(x)\) muss noch bestimmt werden.
\(h(x) = \sum \limits_{n=1}^{\text{m}} n^{x} * x^{n}\) ist eine Summe
\(h(x) = h_1(x) + h_2(x) + \dots + h_m(x)\)
mit
\(h_n(x) = n^x\cdot x^n\) für jedes \(n = 1, \dots, m\).
Laut Summenregel ist
\(h'(x) = h'_1(x) + h'_2(x) + \dots + h'_m(x)\).
Die Ableitungen der \(h_n(x)\) müssen noch bestimmt werden.
\(h_n(x) = n^x\cdot x^n\) ist ein Produkt
\(h_n(x) = u_n(x)\cdot v_n(x)\)
mit
\(u_n(x) = n^x\) also \(u'_n(x) = \ln(n)\cdot n^x\)
und
\(v_n(x) = x^n\) also \(v'_n(x) = nx^{n-1}\).
Laut Produktregel ist
\(h'_n(x) = u'_n(x)\cdot v_n(x) + u_n(x)\cdot v'_n(x)\)
also
\(h'_n(x) = \ln(n) n^{x} x^{n}+n^x nx^{n-1}\)
und somit
\(h'(x) = \sum \limits_{n=1}^{\text{m}}\left(\ln(n) n^{x} x^{n}+n^x nx^{n-1}\right)\).
