Euklidischen Algorithmus anwenden auf Polynome: f(x) = x^5+x^4-10x^3-31x^2-33x-12

Question

Aufgabe:

Wenden Sie den erweiterten Euklidischen Algorithmus auf die Polynome
$$ f(x)=x^{5}+x^{4}-10 x^{3}-31 x^{2}-33 x-12 \text { und } g(x)=x^{4}-4 x^{2}-3 x+6 $$
an.

Comments

Hier ist wohl so was gefragt wie hier: https://www.mathelounge.de/76085/euklidischen-algorithmus-teilerfremd-multiplikatives-inverses

D.h. du musst mittels Polynomomdivision den ggT bestimmen.

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Du musst, wie Lu schon gesagt hat Polynomdivision machen:

Also fängst du an mit

$$ x^5+x^4-10x^3-31x^2-33x-12):(x^4-4x^2-3x+6)=x+1\\

\underline{x^5-4x^3-x3^2+6x}$$

$$x^4-6x^3-28x^2-39x-12\\

\underline{x^4-4x^2-3x+6}$$

$$-6x^3-24x^2-36x-18$$

und dann machst du weiter indem du  g durch den rest teilst... bis du nicht mehr weiter teilen kannst und findest so den ggT.

also f(x)=q_1*g(x)+r_1

dann g(x)=q_2*r_1+r_2

r_1=q_3*r_2+r_3.....

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is das unterstrichene dein zwischenergebnis? und wie genau kommt man dann auf -6x^3-24x^2-36x-18 ?

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@Steffi: Erklärungen zur Polynomdivision auch hier:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision/

Answer 1

Wir machen immer eine Polynomdivision mit Rest. Ich würde das wie folgt rechnen

(x^5 + x^4 - 10·x^3 - 31·x^2 - 33·x - 12) : (x^4 - 4·x^2 - 3·x + 6) = (x + 1) R (- 6·x^3 - 24·x^2 - 36·x - 18)

(x^4 - 4·x^2 - 3·x + 6) : (- 6·x^3 - 24·x^2 - 36·x - 18) = (- 1/6·x + 2/3) R (6·x^2 + 18·x + 18)

(- 6·x^3 - 24·x^2 - 36·x - 18) : (6·x^2 + 18·x + 18) = (- x - 1) R 0

Damit ist der GGT

6·x^2 + 18·x + 18