Begründe, dass es unendlich viele Dreieckszahlen gibt, die Summe von zwei Dreieckszahlen sind.

Question

Aufgabe:

Begründe, dass es unendlich viele Dreieckszahlen gibt, die Summe von zwei Dreieckszahlen sind.

Problem/Ansatz:

Ich weiss, dass z.B. Tn-1 + tn = eine Dreieckszahl sein kann. Aber dies ist nicht in jedem Fall so.

t5 + t6 = 36 = 6^2 und = t8.

Doch wie kann ich begründen, dass es unendlich viele Dreieckszahlen gibt, die Summe von zwei anderen Dreieckszahlen sind.

Danke im Voraus für eine ausführliche Erklärung.

Comments

Ich nehme an, \(T_0\) ist nicht erlaubt?

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Du kannst sogar die Verschärfung zeigen :
"Zu jeder Dreieckszahl (und davon gibt es unendlich viele) gibt es eine andere Dreieckszahl, so dass deren Summe wieder eine Dreieckszahl ist."

Dazu überlege dir, wie die Dreieckszahlen (das wird "eine andere") im Pascalschen Dreieck liegen und was das PD mit Summen zu tun hat.

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Danke, dass du dir Zeit genommen hast, aber deine Antwort bringt mich kein Schritt weiter.

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Sorry, vergiß die Idee

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Nach meinen Berechnungen gilt \(T(n)+T\big(T(n)-1\big)=T\big(T(n)\big)\), bzw.$$\binom{n+1}2+\binom{\frac12n(n+1)}2=\binom{\frac12n(n+1)+1}2.$$

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aber deine Antwort bringt mich kein Schritt weiter

MC hat es weiter unten in Form einer Gleichung geschrieben.

Answer 1

t(n) sei die n-te Dreieckszahl und d sei eine Dreieckszahl d≥6. Dann lässt sich t(d) als Summe zweier Dreieckszahlen darstellen (t(d)= t(d-1)+d).

Comments

Für eine Dreieckszahl n und der Verwendung von Binomialkoeffizienten gilt

\( \binom{n}{1} + \binom{n}{2} = \binom{n+1}{2} \)

\( n + \frac{1}{2}·(n - 1)·n = \frac{1}{2}·n·(n + 1) \)