Analysis 1: Beweis vom Umordnungssatz nicht verständlich

Question

Hallo, ich arbeite streng nach dem Buch Analysis 1 13. Auflage von Otto Forster und Florian Lindemann und habe ein Problem einen Schritt in dem Beweis von dem Satz 7.8 (Umordnungssatz) zu verstehen. Ich werde mein Problem auf das Wesentliche reduzieren bzw. es leicht modifizieren um es knapp und einfach zu halten.

Sei \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n \) eine konvergente Reihe. Sei \( \epsilon > 0 \) vorgegeben. Dann gibt es wegen der Konvergenz von \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_k \) ein \( n_0 \in \mathbb{N} \), so dass \( \sum \limits_{k=n_0}^{\infty} a_k < \epsilon \).

Mein Problem: Welcher Satz / Definition erlaubt mir zu schlussfolgern, dass die Folge \( (\sum \limits_{k=n_0}^{m} a_k) \) der Partialsummen konvergiert, d.h. warum darf ich überhaupt \( \sum \limits_{k=n_0}^{\infty} a_k \) schreiben und dass der Limes kleiner als jede beliebige Zahl \( \epsilon >0 \) ist?

Ich vermute, es folgt irgendwie aus dem Satz 7.1 (Cauchysches Konvergenz-Kriterium). Dieser Satz lautet wie folgt

Sei \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller Zahlen. Die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n \) konvergiert genau dann, wenn gilt: Zu jedem \( \epsilon > 0 \) existiert ein \( N \in \mathbb{N} \), so dass \( |\sum \limits_{k=m}^{n} a_k | < \epsilon \), für alle \( n \geq m \geq N \).

Aber leider kann ich gedanklich nicht ganz den zweiten Teil vom Satz 7.1 auf mein Problem übertragen. Und ich kann mir zwar ganz gut "naiv" denken, dass es so ist, aber mir fehlt der genaue Ansatz, denn es handelt sich dabei um keine "feste" Reihe, sondern diese variiert, abhängig von \( \epsilon \) ändert sich der Wert \( m \). Ich kann zwar den Ausdruck \( |\sum \limits_{k=m}^{n} a_k | \) mithilfe von Partialsummen auf eine Couchy-Folge zurückführen und weiß dann zwar, dass die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n \) konvergiert (war ja auch der Beweis, des Satzes 7.1 ist), aber weiterhin beantwortet es mir irgendwie meine Frage nicht.

Comments

Schau Dir die epsilon Definition der Konvergenz von Folgen an (nicht Cauchy), die Reihe, also die Folge der Partialsummen b_n konvergiert, die Differenz zwischen der Summe bis n und der bis unendlich (dem Grenzwert) ist genau die Summe von n+1 bis unendlich…

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@user26605: Danke, ich denke, dass ich alles verstanden habe, was du geschrieben hast, trotzdem leuchtet mir die Lösung meines Problems nicht ein.

Ich kenne die Definition der Konvergenz von Folgen. Diese geht von einer Folge reeller Zahlen aus. Dass eine Reihe eine Folge ist (die Folge der Partialsummen), ist mir auch bewusst. Ich weiß allerdings nicht wie ich hier überhaupt die Standarddefinition der Konvergenz anwenden kann, wenn ich keine Folge/Reihe im eigentlichen Sinne habe. Ich habe höchstens einen Betrag, einen Abstand zwischen zwei Gliedern der Folge (zwei Partialsummen), dabei lande ich höchstens bei der Definition der Couchy-Folge, die mir nur die Information liefert, dass die Folge \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n \) konvergiert. \( \sum \limits_{k=m}^{n} a_k \) ist für mich ein Gebilde, welches erst Sinn ergibt, wenn ich ein \( \epsilon \) gewählt habe, und ein von \( \epsilon \) abhängiges \( N \).

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OK, verstanden, wie unten schon erläutert. Danke schön :).

Answer 1

\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) konvergiert bedeutet, dass die Folge \(s_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k\) konvergiert und zwar gegen \(s:=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\). Achtung: die Bezeichnung \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) wird sowohl für die Folge (der Partialsummen) als auch für deren Grenzwert benutzt.

Wenn man dann die Def. der Konvergenz benutzt, erhält man mit \(|s-s_n|<\epsilon\) für \(n\ge n_0-1\) genau das, was da steht.

Comments

Ah, so rum... Jetzt verstehe ich, wie ich hier die allgemeine Definition der Konvergenz anwenden kann. Das war, glaube ich, auch der Gedankengang von @user26605. Ich habe mich irgendwie zu stark an die Couchy-Definition festgehalten...

Vielen Dank.

Answer 2

Hallo motoil,

gut, dass du genau nachprüfst! Der Forster ist leider wie die meisten Mathebücher sehr grob in der Argumentation...

In der Tat sind zwei Dinge zu zeigen:

1. Für jedes \(n_0\in\mathbb{N}\) ist die Folge \( (\sum \limits_{k=n_0}^{m} a_k)_{m\in\mathbb{N}} \) konvergent, und zwar gegen \(\left(\sum_{k=0}^\infty a_k\right)-\left(\sum_{k=0}^{n_0-1}a_k\right)\).

2. Es existiert ein \(n_0\in\mathbb{N}\) mit \(\left|\sum\limits_{k=n_0}^\infty a_k\right|<\varepsilon\).

Zu 1.: Beachte \(\sum_{k=n_0}^m a_k=\sum_{k=0}^ma_k-\sum_{k=0}^{n_0-1}a_k\) für alle \(m\ge n_0\). Der Minuend konvergiert für \(m\to\infty\) nach Voraussetzung, und zwar gegen \(\sum_{k=0}^\infty a_k\). Der in \(m\) konstante Subtrahend konvergiert für \(m\to\infty\) gegen seinen konstanten Wert \(\sum_{k=0}^{n_0-1}a_k\). Somit folgt aus den Grenzwertsätzen für Folgen die Behauptung 1.

Zu 2.: Da die Folge \((\sum_{k=0}^m a_k)_{m\in\mathbb{N}}\) gegen \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) konvergiert, existiert ein \(n_1\in\mathbb{N}\) mit \(\left|\sum_{k=0}^\infty a_k-\sum_{k=0}^ma_k\right|<\varepsilon\) für alle \(m\ge n_1\). Es folgt mit der Wahl \(n_0:=n_1+1\) unter Verwendung von 1. wie gewünscht die Abschätzung $$\left|\sum_{k=n_0}^\infty a_k\right|=\left|\left(\sum_{k=0}^\infty a_k\right)-\left(\sum_{k=0}^{n_0-1}a_k\right)\right|=\left|\left(\sum_{k=0}^\infty a_k\right)-\left(\sum_{k=0}^{n_1}a_k\right)\right|<\varepsilon\quad.$$

Wenn etwas an meiner Antwort unklar ist, gerne nachfragen.

Viele Grüße

Tobias