Question

Ich soll a ermitteln bei der Funktion F(x)=ax^3-3x^2 wobei der TP bei x=2 gegeben ist. Wie mache ich das?

Answer 1

Wenn du schon Ableitungen kennst, dann ist das recht einfach:

Wenn f an der Stelle x = x₀ eine Extremstelle (Hochpunkt oder Tiefpunkt) hat, dann muss die Tangente an f an dieser Stelle die Steigung 0 haben, also eine horizontale Gerade sein. Dann aber muss auch die Steigung von f an dieser Stelle den Wert 0 haben.

Da die Steigung von f durch ihre erste Ableitung f ' gegeben ist, muss also an der Extremstelle x₀ gelten:

f ' ( x₀ ) = 0

Vorliegend ist x₀ = 2 und f ' ( x ) = 3 a x ² - 6 x

Daher:

f ' ( x₀ ) = 0

<=> 3 a x₀² - 6 x₀ = 0

Für x₀ den Wert 2 einsetzen:

<=> 3 a * 2 ² - 6 * 2 = 0

<=> 12 a - 12 = 0

<=> 12 a = 12

<=> a = 1

Somit lautet die gesuchte Funktion:

f ( x ) =  x ³ - 3 x ²

Hier ein Schaubild des Graphen von f. Man erkennt, dass wie gefordert bei x = 2 ein Tiefpunkt liegt:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B3-3x%C2%B2

Comments

Du hast mir sehr geholfen. Ich war schon auf dem richtigen Weg. Nur hab ich leider nicht bei der Ableitung x eingesetzt und a ermittelt sondern das bei der Ursprungsgleichung gemacht...vielen Dank!