Gleichungssysteme lösen auch mit Unbekannten

Question

Aufgaben zu Gleichungssysteme:

Löse die Gleichungssysteme. In Punkt c) sind \( V_{l} \) und \( V_{2} \) die Unbekannten.

a) \( \left\{\begin{array}{c}4 x+3 y=37 \\ 0,5 x-6 y=-14,5\end{array}\right. \)

b) \( \left\{\begin{aligned} 4 x+7 y-3 z &=9 \\-27 x-3 y+5 z &=-18 \\ 2 x+8 y-6 z &=0 \end{aligned}\right. \)

c) \( \left\{\begin{array}{c}m_{1} V_{0}=-m_{1} V_{1}+m_{2} V_{2} \\ \frac{1}{2} m_{1} V_{0}^{2}=\frac{1}{2} m_{1} V_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} V_{2}^{2}\end{array}\right. \)


Ansatz:

Aufgabe a) Habe ich mithilfe des Computers berechnet, aber wie macht man es bei b)? Wie beginnt man? c) sieht sehr schwer aus... Was mache ich mit den Quadraten im Nenner, eventuell Wurzel ziehen?

Answer 1

Nun,

bei b)

gibt es drei Unbekannte, daher braucht man für eine eindeutige Lösung auch drei Gleichungen.

4 x + 7 y - 3 z = 9

- 27 x - 3 y + 5 z = - 18

2 x + 8 y - 6 z = 0

Dritte Gleichung nach x auflösen:

2 x = - 8 y + 6 z

x = - 4 y + 3 z

Diesen Term für x in die beiden anderen Gleichungen einsetzen:

4 ( - 4 y + 3 z ) + 7 y - 3 z = 9

- 27 ( - 4 y + 3 z ) - 3 y + 5 z = -18

Ausmultiplizieren:

- 16 y + 12 z + 7 y - 3 z = 9

108 y - 81 z - 3 y + 5 z = - 18

und zusammenfassen:

- 9 y + 9 z = 9

105 y - 76 z = - 18

Erste Gleichung nach y auflösen:

9 y = 9 z - 9

y = z - 1

Diesen Term für y in die zweite Gleichung einsetzen:

105 ( z - 1 ) - 76 z = - 18

Ausmultiplizieren:

105 z - 105 - 76 z = - 18

und zusammenfassen:

29 z = 87

Nach z auflösen:

z = 3

Diesen Wert von z in die violette Gleichung einsetzen:

y = 3 - 1

y = 2

Die Werte von z und y in die blaue Gleichung einsetzen:

x = - 4 * 2 + 3 * 3 

x = 1

Die Lösung des Gleichungssystems ist also:

x = 1 , y = 2 , z = 3

Probe durch Einsetzen dieser Werte in das ursprüngliche Gleichungssystem.

 

zu c)

m₁* V₀ = - m₁ * V₁ + m₂ * V₂

( 1 / 2 ) m₁ * V₀² = ( 1 / 2 ) m₁ * V₁² + ( 1 / 2 ) m₂ * V₂²

(Wo siehst du da Quadrate im Nenner?)

Zunächst multipliziert man die zweite Gleichung mit 2, damit die lästigen Faktoren verschwinden:

m₁ * V₀² = m₁ * V₁² + m₂ * V₂²

Diese Gleichung löst man nun auch nach V₁² auf:

m₁ * V₁² = m₁ * V₀² - m₂ * V₂²

V₁² = ( m₁ * V₀² - m₂ * V₂² ) / m₁

V₁² = V₀² - ( m₂ / m₁ ) * V₂²

Nun löst man die erste Gleichung nach V₁ auf:

m₁ * V₁ = - m₁* V₀ + m₂ * V₂

V₁ = ( - m₁* V₀ + m₂ * V₂ ) / m₁

V₁ = - V₀ + ( m₂ / m₁ ) * V₂

Um nun diese Gleichung mit der blauen Gleichung gleichsetzen zu können, quadriert man diese Gleichung:

V₁²  = V₀² + 2 * V ₀ * ( m₂ / m₁ ) * V₂  + ( m₂ / m₁ ) ² * V₂ ²

Nun kann man die beiden blauen Gleichungen gleich:

V₀² - ( m₂ / m₁ ) * V₂²  = V₀² + 2 * V ₀ * ( m₂ / m₁ ) * V₂  + ( m₂ / m₁ ) ² * V₂ ²

Auf beiden Seiten V₀² subtrahieren:

- ( m₂ / m₁ ) * V₂² = 2 * V ₀ * ( m₂ / m₁ ) * V₂  + ( m₂ / m₁ ) ² * V₂ ²

Beide Seiten durch V₂ dividieren:

- ( m₂ / m₁ ) * V₂ = 2 * V ₀ * ( m₂ / m₁ )  + ( m₂ / m₁ ) ² * V₂ 

Auf beiden Seiten ( m₂ / m₁ ) ² * V₂  subtrahieren:

- 2 ( m₂ / m₁ ) * V₂ = 2 * V ₀ * ( m₂ / m₁ )

Beide Seiten durch 2 dividieren:

- ( m₂ / m₁ ) * V₂ = V ₀ * ( m₂ / m₁ )

Beide Seiten durch - m₂ / m₁ dividieren:

V₂ = - V₀