Aussagen über Folgen wahr oder falsch?

Question

a) Ist \( \left(a_{n}\right) \) eine divergente Folge mit \( \left|a_{n}\right| \leq A<\infty \) für alle \( n \) und \( \underset{n \rightarrow \infty}{\text { lim }} b_{n}=0 \), dann gilt \( \underset{n \rightarrow \infty}{\text { lim }} a_{n} b_{n}=0 \).

b) Wenn die Folgen \( \left(a_{n}\right) \) und \( \left(b_{n}\right) \) divergent sind, dann ist auch die Folge \( \left(a_{n}+b_{n}\right) \) divergent.

c) Gilt \( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } a_{n}=+\infty \) und \( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } a_{n}=-\infty \), dann folgt \( \underset{n \rightarrow \infty}{\lim }\left(a_{n}+b_{n}\right)=0 \).

Ansatz:

Würde bei der a) sagen dass die Aussage falsch ist, bei b) wahr und bei c) auch wahr.

Leider weiß ich nicht genau wie ich das beweisen bzw. ein Gegenbeispiel zeigen soll, wäre für Hilfe echt dankbar :)

Answer 1

a)  ist richtig!

Eine divergente Folge

( a _n ) mit | a _n | ≤ A < ∞ ...

ist offensichtlich durch A beschränkt, ihre Folgeglieder nehmen also ausschließlich endliche Werte an, nämlich Werte zwischen - A und A.
Eine solche Folge ist etwa die Folge:

( a _n ) = ( - 1 ) ⁿ

Bildet man nun die Folge aus dem Produkt der Glieder einer solchen Folge und denen einer Nullfolge ( b _n ) , also:

( c _n ) = ( a _n * b _n )

mit lim _n->∞  ( b _n ) = 0

dann gilt:

lim _n->∞  ( c _n ) = 0

denn die immer kleiner werdenden Werte der Folgenglieder von ( b _n ) "ziehen" die überall nur endlich großen Werte von ( a _n ) gegen Null, wenn n gegen unendlich geht.

Beispiel:

( a _n ) = ( - 1 ) ⁿ   , ( b _n ) = 1 / n

=> lim _n->∞   ( - 1 ) ⁿ * ( 1 / n ) = lim _n->∞   ( - 1 ) ⁿ / n = 0

 

b) ist falsch.

Gegenbeispiel:

( a_n ) = n ist divergent

( b_n ) = - n ist divergent:

aber:

( a _n + b _n ) = n - n = 0 konvergent

 

c ) Hier sollte die zweite Folge, die gegen - ∞ geht, sicherlich nicht ( a_n ) sondern ( b_n ) heißen.

Die Behauptung ist falsch.

Gegenbeispiel:

Sei ( a_n ) = n ² und ( b_n ) = - n

=> lim _n->∞ ( a_n ) = ∞ und  lim _n->∞ ( b_n ) = - ∞

aber:

lim _n->∞ ( a _n + b _n ) = n ² - n = ∞ ≠ 0