Konvergente, beschränkte Folgen. 3 Aussagen wahr oder falsch?

Question

Welche der Aussagen ist falsch, welche richtig? Geben Sie bei falschen Aussagen Gegenbeispiele an.

1. jede divergente folge ist unbeschränkt.

wahr, denn dass gegenteil davon: jede konvergente folge ist beschränkt ist wahr

2  jede beschränkte und monotone folge ist konvergent

wahr, da die Voraussetzungen dass eine folge konvergiert sind, dass die folge beschränkt und mooton ist.

3.  wenn (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ divergieren dann divergiert auch die produktfolge (a_nb_n)_n∈ℕ

Danke:))

Comments

Gegenbeispiel zu (1): a_n = (-1)ⁿ.
Gegenbeispiel zu (3): a_n = b_n = (-1)ⁿ.

Answer 1

  3 ist auch falsch. Setze

      a < n > = b < n > = ( - 1 ) ^ n

Answer 2

1. Das Gegenteil von "jede divergente folge ist unbeschränkt" ist "es gibt eine divergente folge die beschränkt ist".

Außerdem, wenn eine Aussage wahr ist, dann kann nicht auch das Gegenteil wahr sein.

Aussage 1 ist falsch, weil das Gegenteil "es gibt eine divergente folge die beschränkt ist" wahr ist. Ein Beispiel für eine solche Folge ist ((-1)ⁿ)_n∈ℕ.

2. Die Aussage ist wahr, aber nicht aus dem Grund, den du genannt hast. Zum Beispiel ist (1/n·sin n)_n∈ℕ nicht monoton, aber konvergent.