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Welche der Aussagen ist falsch, welche richtig? geben sie bei falschen aussagen ein gegenbespiel an.

1. jede konvergente Folge ist beschränkt.

ich würde sagen, diese aussage ist wahr, da nach dem monotoniekriterium eine reelle folge die beschränkt und monoton ist, konvergent ist.


2. Jede konvergente Folge ist monoton.

Wahr, Erklärung: Monotoniekriterium


3. Ist (an) n∈ℕ eine nullfolge und bn n∈ℕ eine belibige andere folge so ist die produktfolge ebenfalls nullfolge.

das ist doch auch wahr, weil das produkt einer nullfolge mit eienr anderen ist doch auch null.


danke:)

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    Ich werde wahrscheinlich wieder angegiftet. Ich bin Anhänger der Non-Standard Analysis ( NSA ) von ===> Edward Nelson ( NSA ; IST )  Lehrbuch Alain robert bei Wiley . Im Rahmen der NSA wollen wir verabreden: Großbuchstaben mögen für Standardobjekte reserviert sein, griechische Buchstaben für inf(initesimale) Zahlen. Das ===> Robinsomlemma besagt


     Sei A  <  n  >  eine konvergente Folge mit Grenzwert G ( Aus dem Transferaxiom folgt, dass der Grenzwert einer Standardfolge eben Falls Standard ist; doch das ist für den Beweis an sich nicht weiter wichtig. ) Dann gilt für alle Nonstandard n


        A  (  n  )  -  G  =  €  =  inf     (  1  )


       Die Folge nähert sich ihrem Grenzwert also infinitesimal an.  Zu Teil 1) deiner Aufgabe; für n = Nonstandard und M > 0 folgt aus ( 1 )


        A  (  n  )  <  G  +  M      (  2  )

 

    Hier bewährt sich die ( von mir eingeführte ) Groß-Kleinschreibung; im Gegensatz zur klassischen Schwarz-Weiß-Analysis ist die NSA " Case sensitive "

     ( Die Standardglieder der Folge sind trivial immer in einer endlichen Menge enthalten und somit beschränkt; die Behauptung ist richtig. )

   2) ist falsch; fast möchte ich sagen: Wäre 2) wahr, brauchten wir uns gar nicht mir dem Begriff der Konvergenz befassen.

   Das wohl wichtigste Gegenbeispiel für dich; wie soll denn " Monotonie " beispielsweise auf |R ² bzw. |C definiert sein? Das sind doch praktisch ganz wichtige Fälle. Aber auch im |R ist es falsch; nimm die Folge


      a  <  n  >  :=  (  -  )  ^  n  /  n        (  3  )


     3)  ist wahr auf Grund eines Grenzwertsatzes. Die Zuordnung  (  4ab  )


      f  :  |R  ²  ===>  |R      (  4a  )

      (  x  ;  y  )  ===>  x  y    (  4b  )


     ist stetig. Mach dir bitte klar: Das bedeutet, wenn a < n > ===> a  ;  b < n >  ===>  b  , so


             a < n >  b < n > ===>  ab    (  4c  )

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Warum ist 2. Nicht wahr?

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Gegenbeispiel zu (2): \(a_n=(-1)^n\cdot\frac1n\).
Gegenbeispiel zu (3): \(a_n=\frac1n,b_n=n\).

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Schreib das doch als Antwort, damit die "offene Frage" verschwindet

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1. jede konvergente Folge ist beschränkt.

ich würde sagen, diese aussage ist wahr, da nach dem monotoniekriterium eine reelle folge die beschränkt und monoton ist, konvergent ist.

Das Argument ist falsch, aber die Aussage wahr.

Wenn g der Grenzwert ist, dann gibt es z.B. außerhalb  einer 1-Umgebung

nur endlich viele oder gar keine Folgenglieder. Damit ist eines davon das Maximum der

außerhalb liegenden und damit dieses

oder eben g+1 eine obere Schranke.


2. Jede konvergente Folge ist monoton.

Wahr, Erklärung: Monotoniekriterium


3. Ist (an) n∈ℕ eine nullfolge und bn n∈ℕ eine belibige andere folge so ist die produktfolge ebenfalls nullfolge.

das ist doch auch wahr, weil das produkt einer nullfolge mit eienr anderen ist doch auch null.

Gegenbeispiele siehe Kommentar.

Avatar von 289 k 🚀

Warum darf man es nicht mit dem monotonielriterium begründen?

beschränkt und monoton ⇒ konvergent

umgekehrt rein logisch nicht,

sonst müsste ja auch jede konvergente Folge monoton sein,

das ist aber falsch  .  Also Teilaufgabe b und c sind falsch wie

die Gegenbeispiele von Wolfgang zeigen.

Zu viel der Ehre :-) ,  die Gegenbeispiele sind von  nn

Dankeschön, klingt einleuchtend Aber was ist denn das Produkt  (3): an=1n,bn=nan=1n,bn=n

1/n  *  n   = 1

Das Produkt ist also die konstante Folge

mit Wert 1 , also keine Nullfolge.

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