Ich werde wahrscheinlich wieder angegiftet. Ich bin Anhänger der Non-Standard Analysis ( NSA ) von ===> Edward Nelson ( NSA ; IST ) Lehrbuch Alain robert bei Wiley . Im Rahmen der NSA wollen wir verabreden: Großbuchstaben mögen für Standardobjekte reserviert sein, griechische Buchstaben für inf(initesimale) Zahlen. Das ===> Robinsomlemma besagt
Sei A < n > eine konvergente Folge mit Grenzwert G ( Aus dem Transferaxiom folgt, dass der Grenzwert einer Standardfolge eben Falls Standard ist; doch das ist für den Beweis an sich nicht weiter wichtig. ) Dann gilt für alle Nonstandard n
A ( n ) - G = € = inf ( 1 )
Die Folge nähert sich ihrem Grenzwert also infinitesimal an. Zu Teil 1) deiner Aufgabe; für n = Nonstandard und M > 0 folgt aus ( 1 )
A ( n ) < G + M ( 2 )
Hier bewährt sich die ( von mir eingeführte ) Groß-Kleinschreibung; im Gegensatz zur klassischen Schwarz-Weiß-Analysis ist die NSA " Case sensitive "
( Die Standardglieder der Folge sind trivial immer in einer endlichen Menge enthalten und somit beschränkt; die Behauptung ist richtig. )
2) ist falsch; fast möchte ich sagen: Wäre 2) wahr, brauchten wir uns gar nicht mir dem Begriff der Konvergenz befassen.
Das wohl wichtigste Gegenbeispiel für dich; wie soll denn " Monotonie " beispielsweise auf |R ² bzw. |C definiert sein? Das sind doch praktisch ganz wichtige Fälle. Aber auch im |R ist es falsch; nimm die Folge
a < n > := ( - ) ^ n / n ( 3 )
3) ist wahr auf Grund eines Grenzwertsatzes. Die Zuordnung ( 4ab )
f : |R ² ===> |R ( 4a )
( x ; y ) ===> x y ( 4b )
ist stetig. Mach dir bitte klar: Das bedeutet, wenn a < n > ===> a ; b < n > ===> b , so
a < n > b < n > ===> ab ( 4c )
