Es sei \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) eine konvergente Reihe. Entscheiden Sie welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründen Sie ihre Antwort.
a) Die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \) ist konvergent.
b) Die Folge \( \left(\sum \limits_{j=n}^{2 n} a_{j}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist konvergent.
c) Ist \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n} \) konvergent, so konvergiert auch \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n} \)
Meine Lösung:
a) falsch.
Als Beispiel eine konvergente alternierende Reihe: \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}} \) \(\quad a_{n}^2 := \sum \limits_{n=1}^{\infty}((-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}})^2 = \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{2n}\frac{1}{n}\quad\)\((-1)^{2n}=1, \quad a_{n}^2:= \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \rightarrow divergent\)
b) Habe ich leider absolut kein Plan. Partialsumme oder sonstiges hilft mir beim Verständnis nicht.
Wäre wirklich nett, wenn mir jmd. dazu eine Lösung geben würde.
c) falsch. z.B.:\( \quad a_{n}=b_{n} \quad \) oder \( \quad b_{n} \neq 0, \quad a_{n}=\frac{1}{b_{n}} \)
Sind a) und c) so richtig begründet und könnte mir jmd. bei b) helfen? Dankeschön im voraus :)
