Welche der folgenden Aussagen sind wahr?Äquivalenzrelationen

Question

Zu 1. habe ich schonmal das hier aber bin mir sehr unsicher:(

P~Q <=> P und Q haben die gleiche x Koardinate

Reflexivität:

es sei x∈ℝ² dann gilt P(x):= x und Q(x):= x‘ und damit x=x‘ ∈ℝ²

Symmetrie:

Falls P~Q <=> P und Q haben die gleiche x Koardinate.

P~Q <=> P(x) = Q (x‘), x=x‘ ∈ ℝ² so gilt x= x‘.

Transitivität:

Angenommen es gilt P~Q <=> P(x)= Q(x‘) ∧ P(x) = Q(x‘) <=> P~Q ∈ ℝ².

Dann ist P(x)= Q(x‘)=x=x‘<=>P~Q

Text erkannt:

Aufgabe 1 (Äquivalenzrelationen) Wir betrachten für die Punkte der Ebene \( \mathbb{R}^{2} \) die folgende Relation:
\( P \sim Q \Leftrightarrow P \) und \( Q \) haben die gleiche \( x \)-Koordinate.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
1. \( \sim \) ist eine Äquivalenzrelation.
2. Alle Äquivalenzklassen für diese Relation haben unendlich viele Elemente.
3. Die Äquivalenzklassen sind die Geraden in \( \mathbb{R}^{2} \), die parallel zur \( x \) Achse sind.
4. Die Äquivalenzklassen sind die Geraden in \( \mathbb{R}^{2} \), die parallel zur \( y \) Achse sind.
5. Die Diagonale \( D:=\left\{(r, r) \in \mathbb{R}^{2} \mid r \in \mathbb{R}\right\} \) enthault genau einen Vertreter jeder Äquivalenzklasse dieser Relation.

Answer 1

Reflexiv, weil P die selbe x-Koordinate hat wie P.

Symmetrisch: Wenn P die selbe x-Koordinate wie Q hat, dann hat auch Q die selbe x-Koordinate wie P.

Transitivität: Wenn P die selbe x-Koordinate wie Q hat und Q die selbe x-Koordinate wie R hat, dann hat auch P die gleiche x-Koordinaste wie R.

Comments

Danke weißt du vielleicht wie die anderen Aufgabenteile gehen komme da überhaupt nicht weiter :/

Danke im Voraus

Answer 2

Zum Vergleich:

1. ist wahr,

2. ist wahr,

3. ist falsch,

4. ist wahr,

5. ist wahr.

Comments

Danke ich weiß aber leider nicht wie ich das begründen kann, könnten Sie mir behilflich sein?

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Welchen Teil von "alle Punkte (einer Äquivalenzklasse) haben die gleiche x-Koordinate" hast du nicht verstanden?

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Heißt das nicht einfach, dass es unendlich viele Punkte bzw Geraden in R2 gibt?
Es sind ja Geraden die Parallel zur y-Achse sind

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(2) Heißt konkret: Auf jeder zur y-Achse parallelen Geraden gibt es unendlich viele Punkte.

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Warum sind 5) und 4) Wahr?