Betragsfunktionen integrieren

Question

Hi an alle,


Meine Funktion lautet     |x| * |x - 1|
Wie finde ich dazu die Stammfunktion?

Nehme an ausmultiplizieren ist zu einfach...

Comments

Mich wuerde das auch interessieren. Mir wurde ma gesagt das betrag x so abgleitet wird wurzel x. Vielleicht kannst du ja das dann halt aufleiten.

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Hi,

hast Du ein bestimmtes Integral?

Ich würde so vorgehen:


-Nullstellen suchen (x = 0 und x = 1)

-Integral Summandenweise integrieren. Also durch obige Grenzen kann man das Integral ja in drei (sinnvolle) Summanden splitten :).


Grüße

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Hi,

Ja es ist bestimmt in den Grenzen von -2 bis 2?

Was heißt Summandenweise? Muss ich nicht trotzdem den gesamten Term integrieren?

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ich selbst finde keinen Weg.
Mein Matheprogramm zeigt mir eine
Lösung die ich auch gern einstellen kann.
Ansonsten kannst du ja oben rechts auf dieser
Seite unter " weitere ... Wolfram mathematica " bemühen.
Habe ich gerade versucht.
integrate(abs(x^2-x))
No answer found in standard mathematical... ( sinngemäß ).
Scheint also kompliziert zu sein.

mfg Georg

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Wolfram mathematica zeigt für
integrate ( abs ( x^2 -x ) ) from x = -2 to 2 das Ergebnis 5  2/3

Die Funktion ist ohne die Betragszeichen mal unterhalb mal
oberhalb  der x-Achse. Die Nullstellen können berechnet werden.
Deshalb kann die Funktion aufgeteilt werden und auch manuell
berechnet werden.
Bin gern bereit dies vorzuführen.

mfg Georg

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Würde ich gerne mal sehen? Ist das wie in Der Antwort unten? Darf ich denn zu x² - x zusammenfassen? Und wenn hätte ich ja immernoch eine Betragsfunktion!?

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Ja, das funktioniert.

Sowohl wie unten (und von mir gemeint), sowie es mit x²-x zu berechnen.

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Eine frage. Betrag x ableiten geht ja mit wurzel x. Wieeo darf man oder kann man nicht. Wurzel x aufleiten?

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Ableiten geht mit √x^2. Und Integrieren dachte ich auch?!

(Und zwar integrieren und nicht "aufleiten" bitte. Böses Wort!)

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Also kurz noch nochmal. Darf ich betrag x mit wurzel x^2 "intergrieren"?. Und warum boeses wort^^ War nicht in abi, gleich nach bk stduieren gegangen und selbst aneignen muessen. Warum ich das sage, weil ich schon mal von abiturienten gehoert habe das man dieses boese wort nicht sagen soll;) ohne einen grund mitgegeben zu haben. Also wieso ist es boese^^

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Nur weil "auf" das Gegenteil von "ab" sein mag, ist nicht aufleiten das Gegenteil von ableiten.

So ist beispielsweise auch nicht aufführen das Gegenteil von abführen :P.

 

Das Wort "Aufleitung" zu nutzen ist eher unmathematisch ausgedrückt und (meiner Meinung nach) allenfalls für einen Laien akzeptabel. Aber sobald man wirklich mit Integrationen arbeitet, sollte man das Wort schnellstens vergessen.

 

Darf ich Betrag x mit wurzel x² "intergrieren"?

Meine Hand will ich da nicht ins Feuer legen. Aber ja, ich denke das sollte passen. Wenn man es mal integriert und vergleicht kommt auch das gleiche raus ;).

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Ok ich danke dir. Dann sollte ich das boese boese wort weglassen. Gut auch das ich in dem fall 2 arten kenne zu INTERGRIEREN^^.

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Das Wort " aufleiten " begegnete mir zum ersten Mal in diesem Forum
vor ein paar Monaten
Ich empfand es als " Kunstwort " aber keinesfalls als unzutreffend.
Irgendetwas Böses kann ich in dem Wort nicht erkennen.

Ich schweife nun etwas ab :
das Wort " Park Ranger " für Bedienstete in Nationalparks
finde ich nicht gut. Das deutsche Wort " Park Hüter " ist
optimal.

mfg Georg

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Siehe meine Antwort. mfg Georg

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Ja ok. Also intergrieren ist sozusagen der fachbegriff und aufleiten kunst. Da wir aber mathematiker kunst einfach hassen ist das ein "boeses wort". Haha spass bei seite, ich werde die aufgabe mal selbst versuchen. Malsehen wie weit ich komme

Answer 1

Zerlege das integral in die drei Teilintegrale: $$ \int_{-2}^{2} |x|\cdot |x-1| dx= \int_{-2}^0 (-x)(-x+1) dx + \int _0^{1} x(-x+1) dx +\int_1^2 x(x-1) dx $$ bzgl. der Fallunterscheidung der Betragsfunktion. Diese Integrale lassen sich wie gewohnt berechnen, bzw. die Stammfunktionen wie gewohnt bilden.

Comments

wieso hast du bei den Teilintervallen x + 1 und nicht auch - 1?

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Ich habe nirgends x+1 geschrieben, mir wird es auch nicht so dargestellt. Was ich geschrieben habe ist, -x+1 als Wert von |x-1| für x<-1. denn es ist |x-1|=-x+1 für x<1 und |x-1|=x-1 für x>1.

Answer 2

Ich habe doch noch eine Stammfunktion erarbeitet

Gesucht  : ∫ | x | * | x - 1 | dx

Ich ersetze | x |  durch √ x^2.. Es ergibt sich
∫ √ [  x^2   * √ ( x - 1)^2  ] dx

Ich selbst konnte das Integral nicht bilden aber mein
Matheprogramm bzw. Wolfram Alpha liefert
für integrate ( sqrt(x^2) * sqrt(x-1)^2 ) eine
Stammfunktion. Allerdings einen umfangreichen Term.

Der Wert durch Einsetzung der Grenzen
integrate ( sqrt(x^2) * sqrt(x-1)^2 ) from x =-2 to 2
ergab den bekannten Wert 5  2/3.

mfg Georg

Comments

Hier die Stammfunktion. Eine Aufsplittung ist nicht notwendig.

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Da muss ich leider Wolframalpha mal widersprechen: Diese Funktion ist bei 1 nicht stetig, als erst recht nicht differenzierbar. Das muss sie aber sein, wenn sie sich "Stammfunktion von \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=|x|\cdot |x-1|\)" nennen will. Das ist das gleiche Problem wie bei mir (siehe meine Antwort).

Diese Funktion könnte man höchstens als Stammfunktion von \(g:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}, g(x)=|x|\cdot |x-1|\) nehmen.

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Richtig Nick1000, dein Adlerblick  hat die Division durch 0 erkannt.
mfg Georg

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Oh, das fällt mir ja jetzt erst auf, dass da durch 0 dividiert wird... Hätte ich ja auch gleich sehen können.

Ich habe die Funktion mal geplottet und dann da die Sprungstelle gesehen.

Na gut, dann muss ich meine Aussage von oben etwas abändern: Die Funktion ist bei 1 nicht unstetig, sondern gar nicht definiert. Die Funktion ist überall auf ihrem Definitionsbereich \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) stetig und auch differenzierbar. Aber trotzdem ist es keine Stammfunktion von f, sondern höchstens von g.

Answer 3

Eine Stammfunktion könnte man folgendermaßen finden:

\(f(x)=|x|\cdot |x-1|=\begin{cases} x\cdot (x-1) &, x\leq 0 \\ -x\cdot (x-1) &,0< x \leq 1 \\ x\cdot (x-1)  & ,1< x \end{cases} = \begin{cases} x^2-x &, x\leq 0 \\ -x^2+x &,0< x \leq 1 \\ x^2-x  & ,1< x \end{cases}\)

D.h.

\(F(x)=c+\begin{cases} \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2 &, x\leq 0 \\ -\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 &,0< x \leq 1 \\ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2 & ,1< x \end{cases}\)

Jetzt ist nur noch das Problem, dass F bei 1 nicht stetig ist. F muss aber sogar differenzierbar sein. Deswegen verschieben wir den letzten Teil nach oben (die Ableitung bleibt ja dann dieselbe):

\(F(x)=c+\begin{cases} \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2 &, x\leq 0 \\ -\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 &,0< x \leq 1 \\ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3} & ,1< x \end{cases}\).

Diese Funktion ist überall differenzierbar, und wenn man sie ableitet, erhält man f (das ist ja eigentlich klar, außer an den Stellen 0 und 1, da müsste man die Ableitung nochmal per Hand mithilfe des Differentialquotienten überprüfen, ob da wirklich f(0) bzw. f(1) rauskommen).

Und so sieht die Stammfunktion aus (hier ist c=0):